《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF.设DE=x,DF=y.
(1)求cos B的值；
(2)用含y的代数式表示AE；
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x的取值范围；
(4)设四边形DECF的面积为S,求S的最大值.
解:(1)∵∠C=90°,BC=4,AC=8,
∴cos B=BC:AB=4:4√5=√5/5,
(2)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DECF为矩形,
∵DF=y,
∴DF=EC=y,
∵AC=8,AE=AC-EC,
∴AE=8-y,
(3)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠A+∠B=90°,∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠A=∠BDF,
∴△ADE∽△DBF,
∴AE/DF=DE/BF,
∵矩形DECF,DF=y,DE=x,
∴CF=x,CE=y,
∴BF=BC-CF=4-x,
∵AE=8-y,

∴(8-y)/y=x/(4-x),
∴y=-2x+8(0＜x＜4),
(4)∵y=-2x+8,DE=x,DF=y,
∴S=DE·DF=xy=x(-2x+8)=-2x²+8x=-2(x²-4x+4)+8,
即S=-2(x-2)²+8,
∴当x=2时,S的值最大,S的最大值为8.

答案：
解:
(1)
∵∠C=90°,BC=4,AC=8,
∴cos B=BC:AB=4:4√5=√5/5,
(2)
∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DECF为矩形,
∵DF=y,
∴DF=EC=y,
∵AC=8,AE=AC-EC,
∴AE=8-y,
(3)
∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠A+∠B=90°,∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠A=∠BDF,
∴△ADE∽△DBF,
∴AE/DF=DE/BF,
∵矩形DECF,DF=y,DE=x,
∴CF=x,CE=y,
∴BF=BC-CF=4-x,
∵AE=8-y,

∴(8-y)/y=x/(4-x),
∴y=-2x+8(0＜x＜4),
(4)
∵y=-2x+8,DE=x,DF=y,
∴S=DE·DF=xy=x(-2x+8)=-2x²+8x=-2(x²-4x+4)+8,
即S=-2(x-2)²+8,
∴当x=2时,S的值最大,S的最大值为8.

1. 画一个函数图象的一般过程是：① 列表；② 描点；③ 连线.

答案： 列表; 描点; 连线

2. 一次函数图象的形状是 直线；反比例函数图象的形状是 双曲线.

答案： 直线; 双曲线

3. 在坐标系中画出函数$y = x^2$的图象.
x
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
$y = x^2$
... 9 4 1 0 1 4 9 ...

答案： 1. 列出点：
(-3, 9)
(-2, 4)
(-1, 1)
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
2. 在坐标系中描出以上点。
3. 用平滑的曲线连接这些点，形成抛物线。
4. 图像为开口向上的抛物线，顶点在原点(0, 0)。
（图略）

1. 在上面的直角坐标系中,画出另两个函数$y = \frac{1}{2}x^2$,$y = 2x^2$的图象.
解:列表.
x
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
$y = \frac{1}{2}x^2$
... 8 $\frac{9}{2}$ 2 $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 2 $\frac{9}{2}$ 8 ...
$y = 2x^2$
... 32 18 8 2 0 2 8 18 32 ...
归纳 抛物线$y = \frac{1}{2}x^2$,$y = 2x^2$的图象是 抛物线,是 轴 对称图形. 对称轴与抛物线的交点是顶点,顶点坐标 (0,0),对称轴是 y轴,顶点是抛物线的最 低(填“高”或“低”)点. 当$a ＞ 0$时,$a$越大,抛物线的开口越 小.

答案： 抛物线; 轴; (0,0); y轴; 低; 小

2. 请在上面的直角坐标系中画出函数$y = -x^2$,$y = -\frac{1}{2}x^2$,$y = -2x^2$的图象.
解:列表.
x
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
$y = -x^2$
... -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 ...
$y = -\frac{1}{2}x^2$
... -8 $-\frac{9}{2}$ -2 $-\frac{1}{2}$ 0 -2 -2 $-\frac{9}{2}$ -8 ...
$y = -2x^2$
... 32 18 8 2 0 2 -8 9 32 ...
归纳 抛物线$y = -x^2$,$y = -\frac{1}{2}x^2$,$y = -2x^2$的二次项系数$a$ ＜0,顶点是 (0,0),对称轴是 y轴,顶点是抛物线的最 高(填“高”或“低”)点.$|a|$越大,抛物线的开口越 小.

总结

答案： ＜; (0,0); y轴; 高; 小