《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{3}$.求AB及∠B.
解：AB=6 ∠B=30°

答案： 解：AB=6 ∠B=30°

4. 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度.如图，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上；沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上.请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度.（参考数据：tan31°≈$\frac{3}{5}$，sin31°≈$\frac{1}{2}$）
解：河宽30m.
B组

答案： 解：河宽30m.

5. 因申办2022年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处，从C处测得树的顶点A的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°，如图所示.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
解：AB=4$\sqrt{3}\lt8$ ∴无危险.

答案： 解：AB=4$\sqrt{3}\lt8$
∴无危险.

视野拓展 2024年，中国国产游戏大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔.某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使无人机在点A处以6.8 m/s的速度竖直上升5 s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°；然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A处的俯角均为45°.说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线，DE⊥AE.（结果精确到1 m；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B处到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度.
解：（1）由题意可知：AB=6.8×5=34（m），在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，则BC=AB=34 m，答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34 m；（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，∴EF=AB=34 m，设DE=x m，则DF=（34 - x）m，在Rt△DFC中，∠DFC=45°，则FC=DF=（34 - x）m，∴BF=CF + BC=（68 - x）m，在Rt△BFD中，∠FBD=20°，∵tan∠FBD=$\frac{DF}{BF}$，∴DF=BF·tan∠FBD，即34 - x=（68 - x）×0.36，解得：x≈15，答：四门塔DE的高度约为15 m.

答案： 解：（1）由题意可知：AB=6.8×5=34（m），在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，则BC=AB=34 m，答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34 m；（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，
∴EF=AB=34 m，设DE=x m，则DF=（34 - x）m，在Rt△DFC中，∠DFC=45°，则FC=DF=（34 - x）m，
∴BF=CF + BC=（68 - x）m，在Rt△BFD中，∠FBD=20°，
∵tan∠FBD=$\frac{DF}{BF}$，
∴DF=BF·tan∠FBD，即34 - x=（68 - x）×0.36，解得：x≈15，答：四门塔DE的高度约为15 m.