《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

(5)如果函数$y=ax^2$和$y=bx+c$的图象没有交点，那么一元二次方程$ax^2-bx-c=0$的解的情况怎样？
无实数根 例4 如图，抛物线的顶点为P(1,4)，与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于点A,B.

答案： 无实数根

(1)求抛物线的解析式；

答案： 答案略

(2)若抛物线与直线$y=x+m$只有一个交点，求m的值；

答案： 答案略

(3)在抛物线上有一点Q(与点P不重合)，若△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标.
解:(1)∵抛物线顶点P(1,4), 设$y=a(x-1)^2+4(a≠0)$, 把C(0,3)代入抛物线解析式得:$a+4=3$, 即$a=-1$, 则抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$; (2)∵抛物线与直线$y=x+m$只有一个交点, ∴$-x^2+2x+3=x+m$, 即$x^2-x+m-3=0$, ∴$\Delta=1-4×1×(m-3)=0$, ∴$13-4m=0$,解得:$m=\frac{13}{4}$; (3)令$y=0$,得$-x^2+2x+3=0$, 解得:$x_1=-1$,$x_2=3$, ∴A(-1,0),B(3,0), 设直线BC的解析式为$y=kx+b$, ∴$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$,解得:$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$, ∴直线BC的解析式为$y=-x+3$, ∵△BCQ与△BCP的面积相等, 过P作PQ//BC,交抛物线于点$Q_1$,如图所示, 设直线$PQ_1$的解析式为$y=-x+b'$,把P(1,4)代入得:$4=-1+b'$,解得:$b'=5$, ∴直线$PQ_1$的解析式为$y=-x+5$, 联立方程组,得$\begin{cases}y=-x+5\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$, 解得:$\begin{cases}x_1=1\\y_1=4\end{cases}$(与P重合,舍去),$\begin{cases}x_2=2\\y_2=3\end{cases}$,∴$Q_1(2,3)$; ②过点P作x轴的垂线交BC于G,在直线PG上取$PG=GH$, ∵直线BC的解析式为$y=-x+3$,P(1,4),∴G(1,2) ∴$PG=GH=2$,∴H(1,0), 过H作直线$Q_2Q_3//BC$,交抛物线于点$Q_2$,$Q_3$, 同理可得直线$Q_2Q_3$解析式为$y=-x+1$, 联立得:$\begin{cases}y=-x+1\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$, 解得:$\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$, ∴$Q_2\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,$Q_3\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)$. 综上，$Q_1（2，3）、Q_2\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)、Q_3\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)$.反馈用 A组

答案： 解:
(1)
∵抛物线顶点P(1,4), 设$y=a(x-1)^2+4(a≠0)$, 把C(0,3)代入抛物线解析式得:$a+4=3$, 即$a=-1$, 则抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$;
(2)
∵抛物线与直线$y=x+m$只有一个交点,
∴$-x^2+2x+3=x+m$, 即$x^2-x+m-3=0$,
∴$\Delta=1-4×1×(m-3)=0$,
∴$13-4m=0$,解得:$m=\frac{13}{4}$;
(3)令$y=0$,得$-x^2+2x+3=0$, 解得:$x_1=-1$,$x_2=3$,
∴A(-1,0),B(3,0), 设直线BC的解析式为$y=kx+b$,
∴$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$,解得:$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$,
∴直线BC的解析式为$y=-x+3$,
∵△BCQ与△BCP的面积相等, 过P作PQ//BC,交抛物线于点$Q_1$,如图所示,![img alt=例4] 设直线$PQ_1$的解析式为$y=-x+b'$,把P(1,4)代入得:$4=-1+b'$,解得:$b'=5$,
∴直线$PQ_1$的解析式为$y=-x+5$, 联立方程组,得$\begin{cases}y=-x+5\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$, 解得:$\begin{cases}x_1=1\\y_1=4\end{cases}$(与P重合,舍去),$\begin{cases}x_2=2\\y_2=3\end{cases}$,
∴$Q_1(2,3)$; ②过点P作x轴的垂线交BC于G,在直线PG上取$PG=GH$,
∵直线BC的解析式为$y=-x+3$,P(1,4),
∴G(1,2)
∴$PG=GH=2$,
∴H(1,0), 过H作直线$Q_2Q_3//BC$,交抛物线于点$Q_2$,$Q_3$, 同理可得直线$Q_2Q_3$解析式为$y=-x+1$, 联立得:$\begin{cases}y=-x+1\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$, 解得:$\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$,
∴$Q_2\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,$Q_3\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)$. 综上，$Q_1（2，3）、Q_2\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)、Q_3\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)$.

1.若二次函数$y=ax^2+3x-1$的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是$a＞-\frac{9}{4}$且$a≠0$.

答案： $a＞-\frac{9}{4}$且$a≠0$

2.(1)已知二次函数$y=x^2-2x-3$,当x的取值满足$x＞3$或$x＜-1$时,$y＞0$;当x的取值满足$-1＜x＜3$时,$y＜0$.

答案： $x＞3$或$x＜-1$; $-1＜x＜3$

(2)函数$y=kx^2-7x-7$的图象和x轴有交点，则k的取值范围是$k≥-\frac{7}{4}$.

答案： $k≥-\frac{7}{4}$