《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与x轴交点的情况:①当$b^2 - 4ac ＞ 0$时,图象与x轴有两个交点;②当$b^2 - 4ac = 0$时,图象与x轴有1个交点;③当$b^2 - 4ac ＜ 0$时,图象与x轴有0个交点.

答案： $b^2 - 4ac ＞ 0$; 两; $b^2 - 4ac = 0$; 1; $b^2 - 4ac ＜ 0$; 0

1.解一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$.
解:$(x - 1)(x - 3) = 0$
$x_1 = 1$
$x_2 = 3$

答案： $(x - 1)(x - 3) = 0$
$x_1 = 1$
$x_2 = 3$

2.求二次函数$y = x^2 - 4x + 3$的图象与x轴的交点.
解:$(1,0)(3,0)$

答案： $(1,0)(3,0)$

3.二次函数$y = x^2 - 4x + 3$的图象与x轴交于两点,两个交点之间的距离是2.
总结 若二次函数$y = ax^2 + bx + c$与x轴有两个交点,则这两个交点间的距离为$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$.

答案： 2; $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当$-4 ＜ x ＜ 0$时,直接写出y的取值范围；
(3)当$y ＞ -3$时,直接写出x的取值范围；
(4)当$-3 \leq x ＜ 2$时,关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c - t = 0$有实根,直接写出t的取值范围.
解:(1)∵设二次函数的解析式为:$y = a(x + 3)(x - 1)$,
将$(0, -3)$代入得:$-3 = a(0 + 3)(0 - 1)$,
解得:$a = 1$,
∴二次函数的解析式为$y = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$;
(2)函数图象如图所示：

当$-4 ＜ x ＜ 0$时,$-4 \leq y ＜ 5$;
(3)当$y ＞ -3$时,$x ＜ -2$或$x ＞ 0$;
(4)当$-3 \leq x ＜ 2$时,$-4 \leq y ＜ 5$,
∵当$-3 \leq x ＜ 2$时,关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c - t = 0$有实根,
∴$-4 \leq t ＜ 5$.

答案：

(1)
∵设二次函数的解析式为:$y = a(x + 3)(x - 1)$,
将$(0, -3)$代入得:$-3 = a(0 + 3)(0 - 1)$,
解得:$a = 1$,
∴二次函数的解析式为$y = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$;
(2)函数图象如图所示：

当$-4 ＜ x ＜ 0$时,$-4 \leq y ＜ 5$;
(3)当$y ＞ -3$时,$x ＜ -2$或$x ＞ 0$;
(4)当$-3 \leq x ＜ 2$时,$-4 \leq y ＜ 5$,
∵当$-3 \leq x ＜ 2$时,关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c - t = 0$有实根,
∴$-4 \leq t ＜ 5$.

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为；
(3)若方程$ax^2 + bx + c = m$有两个实数根,则m的取值范围为.

解:(1)把$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$代入$y = ax^2 + bx + c$得$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$,

解得$\begin{cases}a = 1 \\b = -2 \\c = -3\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y = x^2 - 2x - 3$;
(2)由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为-1,3,
所以不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$;
(3)设$y = ax^2 + bx + c$和$y = m$,
方程$ax^2 + bx + c = m$有两个实数根,则二次函数图象与直线$y = m$有两个交点或一个交点,
所以$m \geq -4$.

答案：
; ;
(1)把$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$代入$y = ax^2 + bx + c$得$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$,

解得$\begin{cases}a = 1 \\b = -2 \\c = -3\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y = x^2 - 2x - 3$;
(2)由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为-1,3,
所以不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$;
(3)设$y = ax^2 + bx + c$和$y = m$,
方程$ax^2 + bx + c = m$有两个实数根,则二次函数图象与直线$y = m$有两个交点或一个交点,
所以$m \geq -4$.