《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

阅读教材第33～38页,掌握二次函数$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2$图象之间的关系,理解并掌握$y=a(x-h)^2$的相关性质.
画出函数$y=-\frac{1}{2}x^2$,$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象,观察并说说:后两个函数图象与函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象有何关系?它们的对称轴、顶点坐标分别是什么?

提示:观察图象的移动过程,要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.

答案： 1. 函数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象：
开口向下，对称轴为 $x = 0$，顶点坐标为 $(0, 0)$。
2. 函数 $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$ 的图象：
由 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象向左平移 1 个单位得到。
开口向下，对称轴为 $x = -1$，顶点坐标为 $(-1, 0)$。
3. 函数 $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$ 的图象：
由 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象向右平移 1 个单位得到。
开口向下，对称轴为 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, 0)$。

在平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$的图象.
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2)根据图象回

答:当$x$取何值时,$y$随$x$的增大而减小?当$x$取何值时,$y$随$x$的增大而增大?当$x$取何值时,$y$取最大值或最小值?
(3)怎样平移函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象能够得到函数$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$的图象?
解:(1)对称轴:$x=-3$ 顶点坐标$(-3,0)$
(2)当$x＜-3$时,$y$随$x$增大而减小
当$x＞-3$时,$y$随$x$增大而增大
当$x=-3$时$y_{min}=0$
(3)左平移3个单位
总结
(1)二次函数$y=a(x-h)^2$图象的顶点坐标为$(h,0)$,对称轴为直线$x=h$.当$a＞0$时,在对称轴的左侧$y$随$x$的增大而减小,在对称轴的右侧$y$随$x$的增大而增大,抛物线有最低点,函数值$y$有最小值;当$a＜0$时,在对称轴的左侧$y$随$x$的增大而增大,在对称轴的右侧$y$随$x$的增大而减小,抛物线有最高点，函数值$y$有最大值.
(2)抛物线$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2$形状相同,位置不同,$y=a(x-h)^2$是由$y=ax^2$左右(填“上下”或“左右”)平移得到的，即形如$y=a(x-h)^2$的抛物线的顶点必在$x$轴上.
(3)$a$的正负决定二次函数开口的方向;$|a|$决定开口的大小,即$|a|$不变，则抛物线的形状不变.因为平移没有改变抛物线的开口大小和形状,所以平移前后的两条抛物线$a$的值相等.

答案： 解:
(1)对称轴:$x=-3$ 顶点坐标$(-3,0)$
(2)当$x＜-3$时,$y$随$x$增大而减小
当$x＞-3$时,$y$随$x$增大而增大
当$x=-3$时$y_{min}=0$
(3)左平移3个单位; $(h,0)$; $x=h$; 减小; 增大; 低; 小; 增大; 减小; 高; 大; 左右; $x$轴; 方向; 大小; 不变; 大小; 形状; 相等