《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

直角三角形中边与角的关系：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$，tanA=$\frac{a}{b}$，sinB=$\frac{b}{c}$，cosB=$\frac{a}{c}$，tanB=$\frac{b}{a}$.

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据三角函数的定义：
$\cos B=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$
故答案为：$\frac{a}{c}$。

你能推导出30°,45°,60°角的三角函数值吗?

(1)若∠C=90°,∠A=30°,则a:b:c=1:$\sqrt{3}$:2；
若∠C=90°,∠A=60°,则a:b:c=$\sqrt{3}$:1:2；
若∠C=90°,∠A=45°,则a:b:c=1:1:$\sqrt{2}$.
(2)结论：
三角函数
α
sinα
cosα
tanα
30°
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
1
60°
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\sqrt{3}$
请你根据表格中函数值的特点,寻找熟记窍门,你发现了什么规律?
①sin30°=cos60°②cos30°=sin60°③tan30°·tan60°=1

答案： 1:$\sqrt{3}$:2; $\sqrt{3}$:1:2; 1:1:$\sqrt{2}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 1; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{1}{2}$; $\sqrt{3}$; sin30°=cos60°; cos30°=sin60°; tan30°·tan60°=1

(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin45^{\circ}+\sin60^{\circ}-2\cos30^{\circ}$；

答案： $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解:原式=$\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

答案： $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

(2)$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$[提示：$\sin^{2}60^{\circ}=(\sin60^{\circ})^{2}$].

答案： 答题卡：
解：
根据特殊角的三角函数值，知道：
$\sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos60^{\circ} = \frac{1}{2}$，
所以，
$\sin^{2}60^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4}$，
$\cos^{2}60^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$，
将上述两个结果相加，得到：
$\sin^{2}60^{\circ} + \cos^{2}60^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$，
故答案为：$1$。

解:原式=1

答案： 1

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若3tanA - $\sqrt{3}$=0，则∠A=30°

答案： 30°

(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{1}{2}$，则tan$\frac{B}{2}$的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3)化简：$\sqrt{(\cos45^{\circ}-1)^{2}}$=$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且$(\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\tan B - 1)^{2}=0$.试判断△ABC的形状.

答案：
∵$(\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\tan B - 1)^{2}=0$，且$(\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq0$，$(\tan B - 1)^{2}\geq0$，
∴$\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2}=0$，$\tan B - 1=0$，
∴$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=1$，
∵∠A，∠B都是锐角，
∴∠A=45°，∠B=45°，
∴∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 45° - 45°=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.

解:sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$⇒∠A=45° tanB=1⇒∠B=45° ∴为等腰Rt△.

答案： sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$⇒∠A=45° tanB=1⇒∠B=45°
∴为等腰Rt△.

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$