《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

9.相似三角形中的基本图形(6)特殊图形(双垂直模型)写出图中相似的三角形(要求对应字母写在对应位置上)：____∽____∽____.△ABD△CBA△CAD

答案： △ABD; △CBA; △CAD

例1 如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,R为DE的中点,BR分别交AC和CD于点P,Q,求BP:PQ:QR.解:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,∴BC=AD=CE,AC//DE,∴△PBC∽△RBE,∴$\frac{PB}{PR}=\frac{BC}{CE},\frac{PC}{RE}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2},$∴RB=2PB,∵点R为DE的中点,△PCQ∽△RDQ,∴$\frac{PQ}{QR}=\frac{PC}{DR}=\frac{PC}{RE}=\frac{1}{2},$∴QR=2PQ,∵BP=PR=PQ+QR=3PQ,∴BP:PQ:QR=3:1:2.

答案： 解:
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,
∴BC=AD=CE,AC//DE,
∴△PBC∽△RBE,
∴$\frac{PB}{PR}=\frac{BC}{CE},\frac{PC}{RE}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2},$
∴RB=2PB,
∵点R为DE的中点,△PCQ∽△RDQ,
∴$\frac{PQ}{QR}=\frac{PC}{DR}=\frac{PC}{RE}=\frac{1}{2},$
∴QR=2PQ,
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ,
∴BP:PQ:QR=3:1:2.

例2 如图1,在□ABCD中,E是AB的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△BFE.(2)如图2,G是边BC上任意一点(点G不与点B,C重合),连接AG,交DF于点H,连接HC,过点A作AK//HC,交DF于点K.①求证:HC=2AK；②当点G是边BC的中点时,求$\frac{HD}{HF}$的值.解:(1)(AAS)(2)①证$△AEK∽△CDH②\frac{2}{3}$

答案： 解:
(1)(AAS)
(2)①证$△AEK∽△CDH②\frac{2}{3}$

例3 如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿点B到点C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于点M.点E不与B,C两点重合.(1)求证:△ABE∽△ECM.(2)当EM//AB时,求出BE的长.(3)探究:在△DEF运动的过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.解:(1)一线三等角$(2)BE=\frac{25}{6}(3)BE_{1}=\frac{11}{6}($当$AM=FM)BF_{2}=1($当AE=EM)当AE=AM时舍.

答案： 解:
(1)一线三等角$(2)BE=\frac{25}{6}(3)BE_{1}=\frac{11}{6}($当$AM=FM)BF_{2}=1($当AE=EM)当AE=AM时舍.

1.如图,在△ABC中$,DE//BC,S_{△ADE}=2S_{△DCE},$则$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=（$D$）$$A.\frac{1}{4}$
$B.\frac{1}{2}$
$C.\frac{2}{3}$
$D.\frac{4}{9}$

答案： D