《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式.
解:y=x²-2x-3
(2)若PE=3EF,求m的值.
解:1或√7
(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE为等腰直角三角形？若存在,直接写出相应的点P的横坐标m的值;若不存在,请说明理由.

解:①∠CPE=90°时$ P₁(1+\sqrt{2},-2) P₂(1-\sqrt{2},-2) ②∠ECP=90°$时$ P₃(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-5}{2}) P₄(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-5}{2})$

答案： 解:y=x²-2x-3; 解:1或√7; 解:①∠CPE=90°时$ P₁(1+\sqrt{2},-2) P₂(1-\sqrt{2},-2) ②∠ECP=90°$时$ P₃(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-5}{2}) P₄(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-5}{2})$

1. 二次函数与一元二次方程的关系
(1)若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，则二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与x轴交点的坐标为$(x_{1},0)(x_{2},0)$.
(2)二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与x轴交点的情况由$b^{2}-4ac$的符号确定，具体为①$b^{2}-4ac＞0$有两个交点；②$b^{2}-4ac=0$有一个交点；③$b^{2}-4ac＜0$没有交点.
注意：①当$\Delta＞0$时，若抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$与x轴的两交点为A,B，则$AB=$$\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$(用含a,b,c的代数式表示)；②当涉及抛物线与x轴的交点问题时，往往要考虑韦达定理，即$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$，$x_{1}\cdot x_{2}=$$\frac{c}{a}$.
(3)一元二次方程$ax^{2}+bx+c=h$的根即为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与直线$y=h$交点的横坐标.
(4)二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与一次函数$y=mx+n$的交点坐标即为方程组$\begin{cases}y=ax^{2}+bx+c \\ y=mx+n\end{cases}$的解.

答案： $(x_{1},0)(x_{2},0)$; $b^{2}-4ac$; $\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$; $-\frac{b}{a}$; $\frac{c}{a}$; $y=h$; 横

2. 二次函数的应用
(1)最大利润问题，基本关系式：总利润=单件利润×数量；
(2)最大面积问题.

答案： 答题卡：
(1) 最大利润问题：
设单件利润为 $p$，销售数量为 $q$，则总利润 $y$ 可表示为：
$y = p × q$
若单件利润 $p$ 与销售数量 $q$ 之间存在某种关系（如线性关系、二次函数关系等），需根据具体关系建立方程。
例如，若单件利润 $p = a - bq$（其中 $a, b$ 为常数），则总利润为：
$y = (a - bq) × q = aq - bq^2$
这是一个关于 $q$ 的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $q = \frac{a}{2b}$。
将 $q = \frac{a}{2b}$ 代入原方程，得到最大利润：
$y_{max} = a \left( \frac{a}{2b} \right) - b \left( \frac{a}{2b} \right)^2 = \frac{a^2}{4b}$
(2) 最大面积问题：
设某一边长为 $x$，另一相关边长为与 $x$ 有关的表达式（如线性表达式、二次函数表达式等），则面积 $S$ 可表示为：
$S = x × 另一边长$
若另一边长为 $c - dx$（其中 $c, d$ 为常数），则面积 $S$ 为：
$S = x(c - dx) = cx - dx^2$
这是一个关于 $x$ 的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $x = \frac{c}{2d}$。
将 $x = \frac{c}{2d}$ 代入原方程，得到最大面积：
$S_{max} = \frac{c}{2d} \left( c - d \left( \frac{c}{2d} \right) \right) = \frac{c^2}{4d}$

例1 如图，抛物线的解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，根据图象判断下列方程根的情况.
(1)方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根分别为$x_{1}=-2.5,x_{2}=0.5$；

答案： $x_{1}=-2.5,x_{2}=0.5$