《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

分别写出二次函数y=2(x-1)²+3关于x轴、y轴、原点对称的函数的表达式.

解:(1)y=-2(x-1)²-3 (2)y=2(x+1)²+3 (3)y=-2(x+1)²-3
探究:若将二次函数的图象绕顶点旋转180°呢？绕点(1,1)旋转180°呢？绕点(-1,2)旋转180°呢？
解:(1)y=-2(x-1)²+3 (2)y=-2(x-1)²-1 (3)y=-2(x+3)²+1
练习:分别写出二次函数y=-(x-1)²+2的图象关于x轴、y轴、原点、顶点对称的图象的函数表达式.(结果用顶点式表示)
解:x轴:y=(x-1)²-2 y轴:y=-(x+1)²+2 原点:y=(x+1)²-2 顶点:y=(x-1)²+2

答案： 解:
(1)y=-2(x-1)²-3
(2)y=2(x+1)²+3
(3)y=-2(x+1)²-3; 解:
(1)y=-2(x-1)²+3
(2)y=-2(x-1)²-1
(3)y=-2(x+3)²+1; 解:x轴:y=(x-1)²-2 y轴:y=-(x+1)²+2 原点:y=(x+1)²-2 顶点:y=(x-1)²+2

例1 (1)如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c=14或8.

答案： 14或8

(2)若$A(-4,y₁),B(-1,y₂),C(\frac{5}{2},y₃)$为二次函数y=x²-4x+a²-1的图象上的三点,则y₁,y₂,y₃的大小关系是y₃＜y₂＜y₁.

答案： y₃＜y₂＜y₁

(3)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图所示,则二次函数y=2kx²-x+k²的图象大致为 ( D ) A B C D

答案： D

例2 已知抛物线y=ax²+bx-3a经过点A(-1,0),C(0,3),与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D. (1)求此抛物线的解析式. (2)连接DC,BC,DB,求△BCD的面积. (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形？若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 将点 $A(-1,0)$，$C(0,3)$ 代入抛物线方程 $y = ax^2 + bx - 3a$，得到方程组：
$\begin{cases}a - b - 3a = 0, \\-3a = 3.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1, \\b = 2.\end{cases}$
因此，抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。
(2) 由 $y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，得顶点 $D$ 的坐标为 $(1, 4)$。
令 $y = 0$，得 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，解得 $x = -1$ 或 $x = 3$，因此 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$。
计算各边长度：
$CD = \sqrt{(1 - 0)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$，
$BD = \sqrt{(3 - 1)^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。
验证 $CD^2 + BC^2 = BD^2$，即 $2 + 18 = 20$，因此 $\triangle BCD$ 是直角三角形。
面积 $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \sqrt{2} = 3$。
(3) 存在。
若以 $CD$ 为底边，则 $PD = PC$，点 $P$ 在对称轴右侧的抛物线上。
设 $P(x, y)$，根据勾股定理，$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2$，即 $y = 4 - x$。
又 $y = -x^2 + 2x + 3$，联立解得 $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 或 $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$（舍去）。
因此 $y = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$，点 $P$ 的坐标为 $\left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right)$。
若以 $CD$ 为腰，点 $P$ 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 $P$ 与点 $C$ 关于直线 $x = 1$ 对称，此时点 $P$ 的坐标为 $(2, 3)$。
综上，符合条件的点 $P$ 的坐标为 $\left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right)$ 或 $(2, 3)$。