《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 设x₁,x₂是方程x² + px + q = 0的两个实数根,x₁ + 1,x₂ + 1是关于x的方程x² + qx + p = 0的两个实数根,则p = -1,q = -3.

答案： -1; -3

6. 已知关于x的方程x² + 3x - m = 0的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x的方程(k - 3)x² + kmx - m² + 6m - 4 = 0有实数根.
解：设方程x² + 3x - m = 0的两根为x₁,x₂,则x₁ + x₂ = -3,x₁·x₂ = -m,
∵x₁² + x₂² = 11,
∴(x₁ + x₂)² - 2x₁·x₂ = 11,
∴9 + 2m = 11,解得m = 1,
且m = 1,方程x² + 3x - m = 0有两个实数根,
∴m = 1,
把m = 1代入(k - 3)x² + kmx - m² + 6m - 4 = 0得(k - 3)x² + kx + 1 = 0,
当k = 3,方程变形为3x + 1 = 0,解得$x = -\dfrac{1}{3},$
当k≠3,Δ = k² - 4(k - 3) = k² - 4k + 12 = (k - 2)² + 8,
∵(k - 2)² ≥ 0,
∴(k - 2)² + 8 ＞ 0,
∴k≠3时,方程有两个不等实数根,
∴关于x的方程(k - 3)x² + kmx - m² + 6m - 4 = 0有实数根.

答案： 设方程$x^2 + 3x - m = 0$的两根为$x_1, x_2$，由韦达定理得$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = -m$。
$\because x_1^2 + x_2^2 = 11$，$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 11$，即$9 + 2m = 11$，解得$m = 1$。
当$m = 1$时，方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的判别式$\Delta = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，有两个实数根，故$m = 1$。
将$m = 1$代入方程$(k - 3)x^2 + kmx - m^2 + 6m - 4 = 0$，得$(k - 3)x^2 + kx + 1 = 0$。
当$k = 3$时，方程为$3x + 1 = 0$，解得$x = -\dfrac{1}{3}$，有实数根。
当$k \neq 3$时，判别式$\Delta = k^2 - 4(k - 3) = (k - 2)^2 + 8$。
$\because (k - 2)^2 \geq 0$，$\therefore (k - 2)^2 + 8 ＞ 0$，方程有两个不等实数根。
综上，关于$x$的方程$(k - 3)x^2 + kmx - m^2 + 6m - 4 = 0$有实数根。

7. 关于x的方程$mx² + (m + 2)x + \dfrac{m}{4} = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由.
解：(1)∵Δ = 4m + 4 ＞ 0且m≠0
∴m ＞ -1且m≠0.
(2)m = -2(舍).

答案：
(1)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0。
Δ=(m+2)²-4·m·(m/4)=m²+4m+4-m²=4m+4。
∴4m+4＞0且m≠0，解得m＞-1且m≠0。
(2)设方程两根为x₁,x₂，由题意得1/x₁+1/x₂=0。
1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=0，
∴x₁+x₂=0且x₁x₂≠0。
由韦达定理：x₁+x₂=-(m+2)/m，x₁x₂=(m/4)/m=1/4。
∴-(m+2)/m=0，解得m=-2。
∵m=-2不满足m＞-1（由
(1)知m＞-1且m≠0），
∴m=-2舍去。
故不存在实数m。

若实数s,t分别满足方程19s² + 99s + 1 = 0和19 + 99t + t² = 0,求代数式$\dfrac{st + 4s + 1}{t}$的值$.(s≠\dfrac{1}{t})$
解：把方程t² + 99t + 19 = 0转化为：$19\dfrac{1}{t²} + 99\dfrac{1}{t} + 1 = 0,$
∵$s≠\dfrac{1}{t}$
∴s和$\dfrac{1}{t}$是方程19x² + 99x + 1 = 0的两个根,
∴$s + \dfrac{1}{t} = -\dfrac{99}{19},s·\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{19},$
$\dfrac{st + 4s + 1}{t} = s + \dfrac{1}{t} + \dfrac{4s}{t} = -\dfrac{99}{19} + \dfrac{4}{19} = -\dfrac{95}{19} = -5.$
故$\dfrac{st + 4s + 1}{t}$的值为 -5.

答案： 解：
1. 方程19 + 99t + t² = 0可化为t² + 99t + 19 = 0，因t≠0，两边同除以t²得19(1/t)² + 99(1/t) + 1 = 0；
2.
∵s≠1/t，
∴s和1/t是方程19x² + 99x + 1 = 0的两根；
3. 由根与系数关系得：s + 1/t = -99/19，s·(1/t) = 1/19；
4. 化简代数式：(st + 4s + 1)/t = s + 4(s/t) + 1/t = (s + 1/t) + 4(s·1/t)；
5. 代入得：(-99/19) + 4×(1/19) = (-99 + 4)/19 = -95/19 = -5。
故代数式的值为-5。

1. 若一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$($a \neq 0$)有两个实数根$x_1$和$x_2$，那么$x_1 + x_2 = $$-\dfrac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = $$\dfrac{c}{a}$.

答案： $-\dfrac{b}{a}$; $\dfrac{c}{a}$

2. 若一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2 = $$-p$，$x_1 \cdot x_2 = $$q$.

答案： $-p$; $q$

例1 一长方形鸡场的平面示意图如图所示，一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m.
（1）若所围的鸡场面积为$150\ m^2$，试求此长方形鸡场的长和宽.
（2）能围成面积为$160\ m^2$的长方形鸡场吗？说说你的理由.

解：（1）长为20m,宽为7.5m. 或长为15m,宽为10m
（2）不可以.

答案： （1）设长方形鸡场垂直于墙的一边长为$x\ m$，则平行于墙的一边长为$(35 - 2x)\ m$。依题意，得$x(35 - 2x) = 150$。整理，得$2x^2 - 35x + 150 = 0$。解得$x = \frac{35 \pm \sqrt{35^2 - 4 × 2 × 150}}{2 × 2} = \frac{35 \pm 5}{4}$。$x_1 = 10$，$x_2 = 7.5$。当$x = 10$时，$35 - 2x = 15$；当$x = 7.5$时，$35 - 2x = 20$。故此长方形鸡场的长为$15\ m$、宽为$10\ m$或长为$20\ m$、宽为$7.5\ m$。
（2）不能。设长方形鸡场垂直于墙的一边长为$x\ m$，则平行于墙的一边长为$(35 - 2x)\ m$。依题意，得$x(35 - 2x) = 160$。整理，得$2x^2 - 35x + 160 = 0$。$\Delta = (-35)^2 - 4 × 2 × 160 = 1225 - 1280 = -55 ＜ 0$，此方程无实数根。故不能围成面积为$160\ m^2$的长方形鸡场。