《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

2. 若方程x²+2x+m=0有两个同号的实数根，则m的取值范围是（B）

A.m＜1
B.0＜m≤1
C.0≤m＜1
D.m＞0

答案： B

3. 若关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（D）

A.k＞-1
B.k＜1且k≠0
C.k≥-1且k≠0
D.k＞-1且k≠0

答案： D

4. 已知实数a,b分别满足a²-6a+4=0,b²-6b+4=0,且a≠b,则$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$的值为7.

答案： 7

5. 把一根长14 cm的铁丝折成一个矩形，若这个矩形的面积为12 cm²，则这个矩形的对角线长是5cm.

答案： 5

6. 化简求值：$\dfrac{x²-x}{x+2}÷(\dfrac{5-2x}{x+2}-2+x)，$其中x²+x-6=0.
解：原式$=\dfrac{3}{4}$或2

答案： 原式$=\dfrac{3}{4}$或2

7. 某百货大楼服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了迎接十一国庆节，商场决定对该品牌童装实行降价促销，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件. 要想平均每天在销售该品牌童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
解：设每件童装降价x元，
$(20+8×\dfrac{x}{4})(40-x)=1200，$
(20+2x)(40-x)=1200，
x²-30x+200=0，
(x-10)(x-20)=0，
∴x=10或x=20，
∵要尽快减少库存，
∴x=20，
答：每件童装应降价20元.

答案： 设每件童装降价x元，
$(20+8×\dfrac{x}{4})(40-x)=1200，$
(20+2x)(40-x)=1200，
x²-30x+200=0，
(x-10)(x-20)=0，
∴x=10或x=20，
∵要尽快减少库存，
∴x=20，
答：每件童装应降价20元.

8. 已知关于x的方程$x²-\sqrt{m²+6m}·x-m+2=0$有两个相等的实数根，则$m=$-5±\sqrt{33}$.$

答案： $-5±\sqrt{33}$

9. 已知关于x的方程8x²-(2m²+m-6)x+2m-1=0的两个根互为相反数，则m=-2.

答案： -2

10. 已知方程x²+kx+1=0与x²-x-2=0有一个根相同，则k=$-\dfrac{5}{2}$或2.

答案： $-\dfrac{5}{2}$或2

11. 已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+2k=0有两个实数根x₁,x₂.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使得x₁·x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解：$(1)k≤\dfrac{1}{4}$
(2)k=1(舍) ∴不存在

答案： $(1)k≤\dfrac{1}{4}$
(2)k=1(舍)
∴不存在

12. 将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
(3)两个正方形的面积之和最小为多少？
解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(5-x)cm，
依题意列方程得x²+(5-x)²=17，
整理得：x²-5x+4=0，(x-1)(x-4)=0，
解方程得x₁=1,x₂=4，
1×4=4,20-4=16；
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、16 cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于12 cm². 理由：
设两个正方形的面积和为y，则
$y=x²+(5-x)²=2(x-\dfrac{5}{2})²+\dfrac{25}{2}，$
∵a=2＞0，
∴当$x=\dfrac{5}{2}$时，y的最小值=12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm²；
(3)设两个正方形的面积和为y，则
$y=x²+(5-x)²=2(x-\dfrac{5}{2})²+\dfrac{25}{2}，$
∵a=2＞0，
∴当$x=\dfrac{5}{2}$时，y的最小值=12.5 cm².
∴两个正方形的面积之和最小为12.5 cm².

答案：
(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(5-x)cm，
依题意列方程得x²+(5-x)²=17，
整理得：x²-5x+4=0，(x-1)(x-4)=0，
解方程得x₁=1,x₂=4，
1×4=4,20-4=16；
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、16 cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于12 cm². 理由：
设两个正方形的面积和为y，则
$y=x²+(5-x)²=2(x-\dfrac{5}{2})²+\dfrac{25}{2}，$
∵a=2＞0，
∴当$x=\dfrac{5}{2}$时，y的最小值=12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm²；
(3)设两个正方形的面积和为y，则
$y=x²+(5-x)²=2(x-\dfrac{5}{2})²+\dfrac{25}{2}，$
∵a=2＞0，
∴当$x=\dfrac{5}{2}$时，y的最小值=12.5 cm².
∴两个正方形的面积之和最小为12.5 cm².