《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

4. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的$\frac{1}{2},$得到△COD,则CD的长是（ ）

A.2
B.1
C.4

$D.2\sqrt{5}$
（ A ）

答案： （ 『A

5. 如图,线段AB的两个端点的坐标分别为A(2,2),B(3,1),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,则点C的坐标为（ ）

A.(3,1)
B.(3,3)
C.(4,4)
D.(4,1)
（ C ）

答案： （ 『C

6. 已知大矩形的周长是与它位似的小矩形周长的2倍,小矩形的面积为5cm²,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽为 4cm.

答案： 4

7. 如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为$1:\sqrt{2},$点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为$ $(\sqrt{2},\sqrt{2})$.$

答案： $(\sqrt{2},\sqrt{2})$

8. 如图,在平面直角坐标系内△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,3),C(3,1).
(1)先画出△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
(3)以点B为位似中心,在点B的下方画出△A₁BC₁,使△A₁BC₁与△ABC相似且相似比为2:1；
(4)直接写出点A₁与点C₁的坐标,以及△A₁BC₁的面积.
解:(1)△ABC如图所示；
(2)如图所示,△A₂B₂C₂即为所求作的△ABC关于y轴对称的图形；
(3)如图所示,△A₁BC₁即为所求作的△ABC以B为位似中心,相似比为2:1的图形；
(4)A₁(-1,1),C₁(3,-1),
△A₁BC₁的面积$=\frac{1}{2}BC₁·A₁C=\frac{1}{2}×4×4=8.$

答案： 解:
(1)△ABC如图所示；
(2)如图所示,△A₂B₂C₂即为所求作的△ABC关于y轴对称的图形；
(3)如图所示,△A₁BC₁即为所求作的△ABC以B为位似中心,相似比为2:1的图形；
(4)A₁(-1,1),C₁(3,-1),
△A₁BC₁的面积$=\frac{1}{2}BC₁·A₁C=\frac{1}{2}×4×4=8.$

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为点F,G.
(1)求证$:\frac{EG}{AD}=\frac{CG}{CD}；$
(2)FD与DG是否垂直？若垂直,给出证明；若不垂直,请说明理由；
(3)当AB=AC时,△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由.
解:(1)△CEG∽△CAD (2)垂直. (3)是

答案： 解:
(1)△CEG∽△CAD
(2)垂直.
(3)是