《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 一张长30 cm、宽20 cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示. 如果折成的长方体纸盒的底面积为$264\ cm^2$，求剪掉的正方形纸片的边长.

解：边长为4cm.

答案： 设剪掉的正方形纸片的边长为 $x$ cm。
根据题意，折成的长方体纸盒的底面长为 $(30 - 2x)$ cm，宽为 $(20 - 2x)$ cm。
由长方体纸盒的底面积为 $264$ $cm^2$，得方程：
$(30 - 2x)(20 - 2x) = 264$，
展开方程得：
$600 - 60x - 40x + 4x^2 = 264$，
整理方程得：
$4x^2 - 100x + 336 = 0$，
除以4得：
$x^2 - 25x + 84 = 0$，
因式分解得：
$(x - 4)(x - 21) = 0$，
解得：
$x_1 = 4, \quad x_2 = 21$。
由于 $x = 21$ 不符合题意（因为纸片的宽度只有 $20$ cm，无法剪去 $21$ cm的正方形），所以舍去。
因此，剪掉的正方形纸片的边长为 $4$ cm。

6. 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数为24.

答案： 24

7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支. 若主干、支干和小分支的总数是21，求每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出$x$个小分支，则可列方程为$x^2 + x + 1 = 21$.

答案： $x^2 + x + 1 = 21$

8. 某海关缉私艇发现在正北方向30海里的$A$处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度在$B$处拦截，则最少经过$\dfrac{2}{3}×60 = 40$分钟能赶上.

答案： $\dfrac{2}{3}×60 = 40$

9. 如图，在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C = 90°$，$AC = 30\ cm$，$BC = 21\ cm$. 动点$P$从点$C$出发，沿$CA$方向运动；动点$Q$同时从点$B$出发，沿$BC$方向运动. 如果点$P$，$Q$的运动速度均为1 cm/s，那么运动9或12秒时，它们相距15 cm.

答案： 9或12

如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90°$，$AB = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$. 点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以1 cm/s的速度运动，点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以2 cm/s的速度运动. 如果点$P$，$Q$分别从点$A$，$B$同时出发，并且点$P$到达点$B$后又继续在$BC$边上前进，点$Q$到达点$C$后又继续在$CA$边上前进，当点$P$在$BC$上、点$Q$在$CA$上时，经过几秒钟，$S_{\triangle PCQ} = 12.6\ cm^2$？
解：设经过$x$秒，点$P$移动到$BC$上，且有$CP = (14 - x)\ cm$，点$Q$移动到$CA$上，且使$CQ = (2x - 8)\ cm$，过$Q$作$QD \perp CB$，垂足为$D$，
由$\triangle CQD \sim \triangle CAB$ 得$\dfrac{QD}{2x - 8} = \dfrac{AB}{AC}$，
即$QD = \dfrac{6(2x - 8)}{10}$，
由题意得$\dfrac{1}{2}(14 - x) \cdot \dfrac{6(2x - 8)}{10} = 12.6$，解之得$x_1 = 7$，$x_2 = 11$.
经过7秒，点$P$在$BC$上距离$C$点7cm处，点$Q$在$CA$上距离$C$点6cm处，使$\triangle PCQ$的面积等于$12.6cm^2$.
经过11秒，点$P$在$BC$上距离$C$点3cm处，点$Q$在$CA$上距离$C$点14cm处，$14 ＞ 10$，点$Q$已超出$CA$的范围，此解不存在.
综上所述，经过7秒$\triangle PCQ$的面积等于$12.6cm^2$.

答案： 设经过$x$秒后，$S_{\triangle PCQ} = 12.6\ cm^2$。
点$P$从$A$到$B$需要6秒，点$Q$从$B$到$C$需要4秒。
当$x \leq 4$时，点$P$在$AB$上或$B$点，点$Q$在$BC$上，此时$S_{\triangle PCQ}$不可能等于$12.6\ cm^2$（因为最大面积为当$x=4$时，$S_{\triangle PCQ} = \frac{1}{2} × 2 × 8 × \frac{1}{2} × 2 = 8\ cm^2$）。
当$4 ＜ x \leq 6$时，点$P$仍在$AB$上，点$Q$已在$CA$上，此时同样不可能达到$12.6\ cm^2$。
当$x ＞ 6$时，点$P$在$BC$上，点$Q$在$CA$上。
此时，$CP = (14 - x)\ cm$，$CQ = (2x - 8)\ cm$。
过点$Q$作$QD \perp CB$于点$D$，由于$\triangle CQD \sim \triangle CAB$，有：
$\frac{QD}{AB} = \frac{CQ}{AC}$
即：
$\frac{QD}{6} = \frac{2x - 8}{10}$
解得：
$QD = \frac{6(2x - 8)}{10}$
由题意，$\triangle PCQ$的面积为：
$\frac{1}{2} × (14 - x) × \frac{6(2x - 8)}{10} = 12.6$
化简得：
$x^{2} - 18x + 77 = 0$
解得：
$x_1 = 7, \quad x_2 = 11$
当$x = 11$时，$CQ = 2 × 11 - 8 = 14 ＞ 10$，即点$Q$已超出$CA$的范围，所以此解不符合题意，舍去。
当$x = 7$时，$CP = 14 - 7 = 7\ cm$，$CQ = 2 × 7 - 8 = 6\ cm$，符合题意。
综上所述，经过7秒后，$\triangle PCQ$的面积等于$12.6\ cm^2$。