《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 直角三角形中边与角的关系
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°.
(1)
sinA = $\frac{a}{c}$,cosA = $\frac{b}{c}$,tanA = $\frac{a}{b}$,sinB = $\frac{b}{c}$,cosB = $\frac{a}{c}$,tanB = $\frac{b}{a}$.
(2)互余两角之间的三角函数关系：sinA = cosB, cosB = sinA, sin(90° - α) = cosα,sinα = cos(90° - α).
(3)同角三角函数关系
平方关系:$\sin^{2}A + \cos^{2}A$ = 1;
商的关系: tanA = $\frac{\sinA}{\cosA}$.

答案： $\frac{a}{c}$; $\frac{b}{c}$; $\frac{a}{b}$; $\frac{b}{c}$; $\frac{a}{c}$; $\frac{b}{a}$; cosB; sinA; cosα; cos; 1; $\frac{\sinA}{\cosA}$

2. 特殊角的三角函数值

|三角函数|30°|45°|60°|
|----|----|----|----|
|sinα|$\frac{1}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{\sqrt{3}}{2}$|
|cosα|$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{1}{2}$|
|tanα|$\frac{\sqrt{3}}{3}$|1|$\sqrt{3}$|

答案： $\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; 1; $\sqrt{3}$

如图,在 Rt△ABC 中,已知 ∠C = 90°,AC = 8,∠BAC 的平分线 AD = $\frac{16}{3}\sqrt{3}$.求 ∠B 及 BC 的值.解:∠B=30°,BC=$8\sqrt{3}$

答案： 解:∠B=30°,BC=$8\sqrt{3}$

例1 如图,在 △ABC 中,∠C = 90°,CD⊥AB 于点 D. 若 ∠A = 30°,CD = $\sqrt{6}$,解 Rt△ADC和 Rt△ABC.解:Rt△ADC 中,角:∠A=30°,∠ACD=60°,∠ADC=90°,AC=2$\sqrt{6}$,AD=3$\sqrt{2}$,CD=$\sqrt{6}$.而 Rt△ABC 中:∠A=30°,∠B=60°,∠BCA=90°,AC=2$\sqrt{6}$ BC=2$\sqrt{2}$ AB=4$\sqrt{2}$

答案： 解:Rt△ADC 中,角:∠A=30°,∠ACD=60°,∠ADC=90°,AC=2$\sqrt{6}$,AD=3$\sqrt{2}$,CD=$\sqrt{6}$.而 Rt△ABC 中:∠A=30°,∠B=60°,∠BCA=90°,AC=2$\sqrt{6}$ BC=2$\sqrt{2}$ AB=4$\sqrt{2}$

变式 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c. 由下列条件解直角三角形.
（1）已知 a = 10,∠B = 60°, 试求∠A,b,c的值；
（2）已知 a = 4$\sqrt{6}$,b = 12$\sqrt{2}$,试求∠A,∠B,c的值.解:(1)∠A=30°,b=10$\sqrt{3}$,c=20 (2)∠A=30°,∠B=60°,c=8$\sqrt{6}$.

答案： 解:
(1)∠A=30°,b=10$\sqrt{3}$,c=20
(2)∠A=30°,∠B=60°,c=8$\sqrt{6}$.

例2 如图,在 △ABC 中,∠B = 45°,∠C = 30°,AC = 10.求 AB,BC.解:AB=5$\sqrt{2}$ BC=5 + 5$\sqrt{3}$

答案： 解:AB=5$\sqrt{2}$ BC=5 + 5$\sqrt{3}$

例3 如图,在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,AC = 6 cm,AB = 8 cm. 把 AB 边翻折,使 AB 边落在 BC 边上,点 A 落在点 E 处,折痕为 BD.求 sin∠DBC 的值.解:sin∠DBC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$

答案： 解:sin∠DBC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$