《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

阅读教材第40页.二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴是直线
二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴是直线$ $x=-\dfrac{b}{2a}$,$顶点坐标是$ $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$.$

答案： $x=-\dfrac{b}{2a}$; $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$

1.已知二次函数y=x²-2x-8,其图象与x轴的交点是 (4,0)(-2,0),与y轴的交点是 (0,-8).

答案： (4,0)(-2,0); (0,-8)

2.二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),并且该图象过点(2,3),则这个二次函数的表达式是$ $y=(x+1)^{2}-6$.$

答案： $y=(x+1)^{2}-6$

例1 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的平面直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=ax²+bx+10表示.已知钢缆的最低点到桥面的距离为2m,两条钢缆最低点之间的距离为40m.(1)求a,b；(2)计划在两钢缆上,距离桥面4m高的位置安装装饰物,求右侧钢缆上两装饰物之间的距离.
解:(1)由题意得,左边抛物线的顶点为(-20,2),又抛物线为y=ax²+bx+10,∴$-\dfrac{b}{2a}=-20,\dfrac{40a-b^{2}}{4a}=2.$∴$a=\dfrac{1}{50},b=\dfrac{4}{5}.(2)$由题意,右边抛物线的顶点为(20,2),∴可设右边抛物线为$y=m(x-20)^{2}+2.$又过点(0,10),∴400m+2=10.∴$m=\dfrac{1}{50}.$∴右边抛物线为$y=\dfrac{1}{50}(x-20)^{2}+2.$令y=4,∴$4=\dfrac{1}{50}(x-20)^{2}+2.$∴x=10或x=30.∴距离桥面4m高的位置安装装饰物,则右侧钢缆上两装饰物之间的距离为(30-10)m=20m.

答案： 解:
(1)由题意得,左边抛物线的顶点为(-20,2),又抛物线为y=ax²+bx+10,
∴$-\dfrac{b}{2a}=-20,\dfrac{40a-b^{2}}{4a}=2.$
∴$a=\dfrac{1}{50},b=\dfrac{4}{5}.(2)$由题意,右边抛物线的顶点为(20,2),
∴可设右边抛物线为$y=m(x-20)^{2}+2.$又过点(0,10),
∴400m+2=10.
∴$m=\dfrac{1}{50}.$
∴右边抛物线为$y=\dfrac{1}{50}(x-20)^{2}+2.$令y=4,
∴$4=\dfrac{1}{50}(x-20)^{2}+2.$
∴x=10或x=30.
∴距离桥面4m高的位置安装装饰物,则右侧钢缆上两装饰物之间的距离为(30-10)m=20m.