《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,太阳光垂直于l照在A点,留在直线l上的影子应是点A',线段AB留在l上的影子是线段A'B'.
定义:过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线,垂足A',B'之间的线段A'B'叫做线段AB在直线l上的正射影,简称射影.

答案： 由题意知，过点 $A$ 和点 $B$ 分别作直线 $l$ 的垂线，
垂足分别为 $A'$ 和 $B'$。
根据射影的定义，线段 $AB$ 在直线 $l$ 上的射影是线段 $A'B'$。
观察图示，太阳光垂直于 $l$ 照在 $A$ 点，留在直线 $l$ 上的影子是点 $A'$，
线段 $AB$ 留在 $l$ 上的影子是线段 $A'B'$。
因此，线段 $AB$ 在直线 $l$ 上的射影为线段 $A'B'$。

2. 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，顶点C在斜边AB上的射影是点 D，直角边AC在斜边AB上的射影是边 AD，直角边BC在斜边AB上的射影是边 BD.

答案： 点 D; 边 AD; 边 BD

若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，则有:①$AC^2 = AD \cdot AB$;②$BC^2 = BD \cdot AB$;③$CD^2 = AD \cdot DB$.这三个式子称为直角三角形的射影定理.
(1)证明： 在△ABC和△ACD中， $\left\{\begin{array}{l} \angle ACB=\angle ADC \\ \angle A=\angle A \end{array}\right.$ ， ∴△ABC∽△ACD， ∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$， ∴$AC^2=AD\cdot AB$.
(2)证明： 解：△CDB∽△ACB 解：△CDB∽△ACB
(3)证明： 解：△ACD∽△CBD 解：△ACD∽△CBD

答案： ; 解：△CDB∽△ACB; 解：△ACD∽△CBD

例1 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12，BC=9.求BD，AD，CD的长. 解：$BD=\frac{27}{5}$ $AD=\frac{48}{5}$ $CD^2=AD\cdot BD=(\frac{36}{5})^2$ $\therefore CD=\frac{36}{5}$

答案： 解：$BD=\frac{27}{5}$ $AD=\frac{48}{5}$ $CD^2=AD\cdot BD=(\frac{36}{5})^2$ $\therefore CD=\frac{36}{5}$

例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：△CEF∽△CBA. 解：$CD^2=CE\cdot AC$ $CD^2=CF\cdot CB$ $\therefore CE\cdot AC=CF\cdot CB$ 又∵$\angle ECF=\angle BCA$ $\therefore \triangle CEF\sim \triangle CBA$

答案： 解：$CD^2=CE\cdot AC$ $CD^2=CF\cdot CB$ $\therefore CE\cdot AC=CF\cdot CB$ 又
∵$\angle ECF=\angle BCA$ $\therefore \triangle CEF\sim \triangle CBA$

例3 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于点D，∠BED=90°，EB=ED，连接AE.若$BC = 3\sqrt{2}$，则△ABE 的面积为$\frac{9}{2}$. 解：$BC^2=BD\cdot BA$ $S_{\triangle ABE}=\frac{BA\cdot \frac{BD}{2}}{2}$

答案： $\frac{9}{2}$; 解：$BC^2=BD\cdot BA$ $S_{\triangle ABE}=\frac{BA\cdot \frac{BD}{2}}{2}$

1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.在图中的6条线段中，你认为只要知道几条线段的长，就可以求得其他线段的长？（B） A.1 B.2 C.3 D.4

答案： B