《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

4. 如图,已知△ABC的面积为12,点D,E分别是边AB,AC的中点,则四边形BCED的面积为9.

答案： 9

5. 有一块三角形地块,已知甲、乙两张地图的比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比与面积比.解:5:2;25:4

答案： 解:5:2;25:4

6. 如图,在△ABC中,已知DE//BC,若$S_{△ADE}:S_{△ABC}=4:9,$求$S_{△ADE}:S_{△CDE}.$解:2:1

答案： 解:2:1

7. 如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G. (1)求证:△AGF∽△CGB; (2)求△BGC与四边形CGFD的面积比.解:(1)两角对应相等,两三角形相似. (2)4:5

答案： 解:
(1)两角对应相等,两三角形相似.
(2)4:5

如图,DE//BC,FG//AB,MN//AC,且DE,FG,MN交于点P.记$S_{△DPM}=S_{1},S_{△PEF}=S_{2},S_{△GNP}=S_{3},S_{△ABC}=S,$那么S与$S_{1},S_{2},S_{3}$之间有何关系?猜想并加以验证.解$:\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}=\sqrt{S} $证明:设DP=a,PE=b GN=c 则BG=a,NC=b ∴$\frac{a}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}} \frac{b}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S}} \frac{c}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S}} $∴$\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}=\sqrt{S}$

答案： 解$:\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}=\sqrt{S} $证明:设DP=a,PE=b GN=c 则BG=a,NC=b
∴$\frac{a}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}} \frac{b}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S}} \frac{c}{a+b+c}=\frac{\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S}} $
∴$\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}=\sqrt{S}$

1. 相似三角形的判定定理和性质定理.

答案： 相似三角形的判定定理：
1. 两角分别相等的两个三角形相似.
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3. 三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的性质定理：
1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

2. 将乘积式$ab = cd$转化为比例式.

答案： 根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
1. $a:c = d:b$
2. $a:d = c:b$
3. $b:c = d:a$
4. $b:d = c:a$
5. $c:a = b:d$
6. $c:b = a:d$
7. $d:a = b:c$
8. $d:b = a:c$