《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

4. 根据你的学习体会，讨论交流：如何根据一元二次方程的特征选择解题方法？

答案： 1. 若方程可化为$(x+a)^2 = b$（$b\geq0$）的形式，即左边是完全平方式，右边是非负常数，选用直接开平方法。
2. 若方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0，即$(mx+n)(px+q)=0$，选用因式分解法（包括提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法）。
3. 若二次项系数为1且一次项系数为偶数，或需将方程化为完全平方式，选用配方法。
4. 若方程不能用上述方法简便求解，或为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta\geq0$时，选用公式法：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。

5. 应用一元二次方程解决实际问题有哪些步骤？
答：设,列,解,验,答.

答案： 设,列,解,验,答.

例1 已知关于x的方程x²-2(m+1)x+m²=0.
(1)当m取什么值时，方程没有实数根？
(2)为m选取一个合适的非零整数，使方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.
解：(1)∵方程没有实数根
∴b²-4ac=[-2(m+1)]²-4m²=8m+4＜0，
∴$m＜-\dfrac{1}{2}，$
∴当$m＜-\dfrac{1}{2}$时，原方程没有实数根；
(2)由(1)可知，$m≥-\dfrac{1}{2}$时，方程有实数根，
∴当m=1时，原方程变为x²-4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x₁,x₂，
则x₁+x₂=4,x₁·x₂=1，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=16-2=14，
∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14.

答案：
(1)
∵方程没有实数根
∴b²-4ac=[-2(m+1)]²-4m²=8m+4＜0，
∴$m＜-\dfrac{1}{2}，$
∴当$m＜-\dfrac{1}{2}$时，原方程没有实数根；
(2)由
(1)可知，$m≥-\dfrac{1}{2}$时，方程有实数根，
∴当m=1时，原方程变为x²-4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x₁,x₂，
则x₁+x₂=4,x₁·x₂=1，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=16-2=14，
∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14.

例2 已知关于x的方程(c-b)x²+a-b=2(b-a)x有两个相等的实数根. 求证：以a,b,c为边所组成的三角形是等腰三角形.
解：Δ=4(a-b)²-4(a-b)(c-b)=0
∴a=b或a=c
∴得证

答案： Δ=4(a-b)²-4(a-b)(c-b)=0
∴a=b或a=c
∴得证

变式 已知a,b,c是一个三角形的三边，且关于x的方程a(x²-1)-2cx+b(x²+1)=0有两个相等的实数根，则该三角形的形状是RtΔ.

答案： RtΔ

例3 在国家的宏观调控下，某县的商品房成交价由今年7月份的4900元/平方米下降到9月份的3600元/平方米.
(1)8、9两月平均每月降价的百分率是多少？（精确到整数位）
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，到11月份该地的商品房成交均价是否会跌破2500元/平方米？请通过计算说明理由.
解：(1)设8、9两月平均每月降价的百分率是x，得：
4000(1-x)²=3600，
解得x₁≈0.05,x₂≈1.95(不合题意，舍去)，
答：8、9两月平均每月降价的百分率是5%.
(2)11月份该市的商品房成交均价是：3600(1-5%)²=3420(元/m²)，
3420＞2500，
答：11月份该市的商品房成交均价不会跌破2500元/m².

答案：
(1)设8、9两月平均每月降价的百分率是x，得：
4000(1-x)²=3600，
解得x₁≈0.05,x₂≈1.95(不合题意，舍去)，
答：8、9两月平均每月降价的百分率是5%.
(2)11月份该市的商品房成交均价是：3600(1-5%)²=3420(元/m²)，
3420＞2500，
答：11月份该市的商品房成交均价不会跌破2500元/m².

1. 若方程$(m+2)x^{|m|}+3mx+1=0$是关于x的一元二次方程，则（B）

A.m=±2
B.m=2
C.m=-2
D.m≠±2

答案： B