《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 设桌子正上方有一盏电灯,距离地面$2.52$米,桌子高$0.63$米,如果桌子的长为$1.2$米,宽为$0.6$米,那么桌面被电灯照射后的影子面积是多少平方米？影子周长是多少米？

答案： 影子面积是 $1.28$ 平方米，影子周长是 $4.8$ 米。

10. (1)如图,小明家的客厅有一张高$0.75$米的圆桌,直径$BC为1$米,在距地面$2米的A$处有一盏灯,圆桌的影子最外侧两点分别为$D$,$E$,建立平面直角坐标系,其中点$D的坐标为(2,0)$,则点$E$的坐标是(3.6, 0)；


(2)如图$1$是一路灯,图$2$为该路灯在铅垂面内的示意图,$DE$为灯柱,点$B$为灯所在的位置,路灯采用锥形灯罩,$AC$为路灯在地面的照射范围,光线$BC与灯柱DE交于点G$. 现测得灯的高度$BF = 7.2m$,$CF = 5.4m$,$BD = DG = 2.5m$,则$EG在地面上的影长EC$为3$m$. 若$AB\perp BD$,则路灯的照射范围$AC$的长为7.5$m$.

答案：
(1)(3.6, 0)；
(2)3；7.5

11. 如图,圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发射的光线照射桌面后,在地面上形成其影子,已知桌面的直径为$1.2m$,桌面离地面的距离为$1m$.
(1)若灯泡距离地面的高度为$3m$,求桌面在地面上的影子面积；
(2)若影子面积是桌面面积的$2$倍,求灯泡离地面的距离.

答案：
(1) 桌面半径 $ r = \frac{1.2}{2} = 0.6 \, m $，灯泡到桌面距离 $ h_1 = 3 - 1 = 2 \, m $，灯泡到地面距离 $ H = 3 \, m $。
由相似三角形性质 $ \frac{r}{R} = \frac{h_1}{H} $，得 $ R = \frac{rH}{h_1} = \frac{0.6 × 3}{2} = 0.9 \, m $。
影子面积 $ S = \pi R^2 = \pi × 0.9^2 = 0.81\pi \, m^2 $。
(2) 设灯泡离地面距离为 $ H \, m $，则灯泡到桌面距离 $ h_1 = H - 1 $。
桌面面积 $ S_{桌} = \pi r^2 $，影子面积 $ S_{影} = 2S_{桌} $，故 $ \pi R^2 = 2\pi r^2 $，得 $ R = r\sqrt{2} $。
由相似三角形性质 $ \frac{r}{R} = \frac{h_1}{H} $，即 $ \frac{r}{r\sqrt{2}} = \frac{H - 1}{H} $，化简得 $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{H - 1}{H} $。
解得 $ H = \sqrt{2}(H - 1) $，$ H(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} $，$ H = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 2 + \sqrt{2} \, m $。
(1) $ 0.81\pi \, m^2 $；
(2) $ (2 + \sqrt{2}) \, m $