《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,某观测点设在距高速公路(直线$l$)$100m的P$处,一辆轿车由西向东匀速驶来,测得此车从$A处行驶到B处所用的时间为3s$,并测得$\angle AOP = 90^{\circ}$,$\angle APO = 60^{\circ}$,$\angle BPO = 45^{\circ}$,试判断此车是否超过了$25m/s$的限制速度?($\sqrt{3} \approx 1.732$)

答案： 在$Rt\bigtriangleup AOP$中，$\because\angle APO=60^{\circ}$，$\angle AOP=90^{\circ}$，$OP=100m$，
$\therefore AO=OP\cdot\tan60^{\circ}=100\sqrt{3}m$。
在$Rt\bigtriangleup BOP$中，$\because\angle BPO=45^{\circ}$，$\angle BOP=90^{\circ}$，$OP=100m$，
$\therefore BO=OP\cdot\tan45^{\circ}=100m$。
$\therefore AB=AO-BO=(100\sqrt{3}-100)m$。
$\because$此车从$A$处行驶到$B$处所用的时间为$3s$，
$\therefore$此车的速度为$\frac{100\sqrt{3}-100}{3}\approx\frac{173.2-100}{3}\approx24.4m/s$。
$\because 24.4m/s＜25m/s$，
$\therefore$此车没有超过$25m/s$的限制速度。

2. 某市要在东西方向的$M$,$N$两地之间修建一条道路.如图,点$C周围180m$范围内为文物保护区,在$MN上的点A处测得点C在点A的北偏东60^{\circ}$方向上,从点$A向东走500m到达点B$处,测得点$C在点B的北偏西45^{\circ}$方向上,则修建的道路$MN$是否穿过文物保护区? 为什么?($\sqrt{3} \approx 1.732$)

答案： 过点$C$作$CD\perp MN$于点$D$。
设$CD=x$米。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$，则$AD=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45^{\circ}$，则$BD = CD = x$。
已知$AB = 500$米，因为$AD+BD=AB$，所以$\sqrt{3}x + x = 500$，即$x(\sqrt{3}+1)=500$，解得$x=\frac{500}{\sqrt{3}+1}=\frac{500(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = 250(\sqrt{3}-1)\approx250×(1.732 - 1)=250×0.732 = 183$（米）。
因为$183＞180$，所以修建的道路$MN$不会穿过文物保护区。

3. 商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯,如图所示,已知原阶梯式自动扶梯$AB长为10m$,扶梯$AB的坡度i = 1:\sqrt{3}$,改造后的斜坡式自动扶梯的坡角$\angle ACB = 15^{\circ}$.
(1)求$AD$的长度;
(2)求改造后的斜坡式自动扶梯$AC$的长度.(结果精确到$0.1m$,参考数据:$\sin 15^{\circ} \approx 0.26$,$\cos 15^{\circ} \approx 0.97$,$\tan 15^{\circ} \approx 0.27$)

答案：
(1) 因为扶梯$AB$的坡度$i = 1:\sqrt{3}$，所以$\tan\angle ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\angle ABD = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 10m$，根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB = 5m$。
(2) 由
(1)知$AD = 5m$，且$\angle ACB = 15^{\circ}$，在$Rt\triangle ACD$中，$\sin\angle ACD=\frac{AD}{AC}$，已知$\sin15^{\circ}\approx0.26$，$AD = 5m$，则$AC=\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{5}{\sin15^{\circ}}\approx\frac{5}{0.26}\approx19.2m$。
综上，
(1)$AD$的长度为$5m$；
(2)改造后的斜坡式自动扶梯$AC$的长度约为$19.2m$。

4. 如图,$C地在A$地的正东方向,因有大山阻隔,由$A地到C地需要从B$地绕行.已知$B地位于A地的北偏东67^{\circ}$方向,距离$A地520km$,$C地位于B地的南偏东30^{\circ}$方向,若打通穿山隧道,建成$A$,$C$两地直达高铁,求$A地到C$地之间直线高铁线路的长.(结果精确到$1km$,参考数据:$\sin 67^{\circ} \approx \frac{12}{13}$,$\cos 67^{\circ} \approx \frac{5}{13}$,$\tan 67^{\circ} \approx \frac{12}{5}$,$\sqrt{3} \approx 1.73$)

答案： 解：过点B作BD⊥AC于点D。
在Rt△ABD中，
AD = AB·sin67° = 520×(12/13) = 480 km，
BD = AB·cos67° = 520×(5/13) = 200 km。
在Rt△BCD中，∠CBD = 30°，
CD = BD·tan30° = 200×(1/√3) ≈ 200/1.73 ≈ 115.6 km。
AC = AD + CD = 480 + 115.6 ≈ 596 km。
答：A地到C地之间直线高铁线路的长约为596 km。