《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 将抛物线先向下平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度后,所得抛物线的函数表达式为 $ y = x^2 - 6x + 5 $,则原抛物线的函数表达式为(D)
A.$ y = (x - 4)^2 - 6 $
B.$ y = (x - 1)^2 - 3 $
C.$ y = (x - 2)^2 - 6 $
D.$ y = (x - 4)^2 - 2 $

答案： D

2. 将抛物线 $ y = -x^2 - 2x + 3 $ 沿 $ x $ 轴对称,再向右平移1个单位,得到的抛物线必经过点(A)
A.$ (-1, -3) $
B.$ (1, 3) $
C.$ (2, -0.5) $
D.$ (-2, 0.5) $

答案： A

3. 将抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 2(x \leq 0) $ 沿 $ y $ 轴对称,得到如图所示的“双峰”图象. 当直线 $ y = -x + b $ 与该“双峰”图象有三个交点时,$ b $ 的值为(D)

A.0
B.2
C.$ \frac{7}{3} $
D.2或$ \frac{7}{3} $

答案： D

4. 将抛物线 $ y = x^2 - 2x + 5 $ 先绕原点旋转 $ 180^\circ $,再向右平移3个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是(2,-4).

答案： (2,-4)

5. 将抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 向上平移 $ m $ 个单位后与坐标轴仅有两个交点,则 $ m = $3或4.

答案： 3或4

6. 如图,将抛物线 $ y_1 = ax^2 + k $ 向右平移6个单位得到抛物线 $ y_2 $,两抛物线交于点 $ C $,在抛物线 $ y_1 $ 上取一点 $ A $,点 $ A $ 在点 $ C $ 左侧,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的平行线,交抛物线 $ y_2 $ 于点 $ B $,若 $ AB = 2 $,且 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,则 $ a $ 的值为$-\frac{\sqrt{3}}{5}$.

答案： $-\frac{\sqrt{3}}{5}$

7. 已知二次函数的图象经过点 $ (0, 3) $,顶点坐标为 $ (1, 4) $.
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 若将该抛物线绕原点旋转 $ 180^\circ $,请直接写出旋转后的抛物线的函数表达式.

答案： 答题卡：
7.
(1) 设二次函数的表达式为 $y = a(x - 1)^2 + 4$（由于顶点为 $(1, 4)$，故采用顶点式）。
代入点 $(0, 3)$，得：
$3 = a(0 - 1)^2 + 4$
$3 = a + 4$
解得 $a = -1$。
因此，二次函数的表达式为 $y = -(x - 1)^2 + 4$ 或 $y = -x^2 + 2x + 3$。
(2) 旋转后的抛物线开口方向相反，顶点坐标变为 $(-1, -4)$。
因此，旋转后的抛物线函数表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4$ 或 $y = x^2 + 2x - 3$。

8. 将抛物线 $ y = x^2 + 4x - 1 $ 绕原点旋转 $ 180^\circ $ 后,再向下平移,得到的新抛物线恰好与直线 $ y = kx + 1 $ 交于点 $ A(1, 2) $.
(1) 求新抛物线的表达式；
(2) 求新抛物线与直线的另一交点 $ B $ 的坐标.

答案：
(1) 原抛物线 $y = x^2 + 4x - 1$ 可以写为 $y = (x + 2)^2 - 5$。
绕原点旋转 $180^\circ$ 后，抛物线变为 $y = - (x - 2)^2 + 5$，
再向下平移后设新抛物线表达式为 $y = - (x - 2)^2 + m$。
又经过点 $A(1, 2)$，所以 $2 = - (1 - 2)^2 + m$，
解得 $m = 3$。
所以新抛物线表达式为 $y = - (x - 2)^2 + 3$，
或写为 $y = - x^2 + 4x - 1$。
(2) 已知直线 $y = kx + 1$ 经过点 $A(1, 2)$，
则 $2 = k \cdot 1 + 1$，
解得 $k = 1$。
所以直线方程为 $y = x + 1$。
联立新抛物线 $y = - x^2 + 4x - 1$ 和直线 $y = x + 1$，
即 $- x^2 + 4x - 1 = x + 1$，
解得 $x_1 = 1, x_2 = 2$。
当 $x = 2$ 时，$y = 3$。
所以另一交点 $B$ 的坐标为 $(2, 3)$。