《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 将抛物线 $ y = 2x^{2} $ 向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,得到的抛物线的表达式是(A)
A.$ y = 2(x + 3)^{2} + 1 $
B.$ y = 2(x - 3)^{2} - 1 $
C.$ y = 2(x + 3)^{2} - 1 $
D.$ y = 2(x - 3)^{2} + 1 $

答案： A

2. 对于二次函数 $ y = (x - 1)^{2} + 2 $ 的图象,下列说法正确的是(C)
A.开口向下
B.顶点坐标是 $ (-1,2) $
C.对称轴是直线 $ x = 1 $
D.与 $ x $ 轴有两个交点

答案： C

3. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (3,0) $,对称轴是直线 $ x = 1 $,下列结论正确的是(B)

A.$ abc ＜ 0 $
B.$ 2a + b = 0 $
C.$ 4ac ＞ b^{2} $
D.点 $ (-2,0) $ 在函数图象上

答案： B

4. 若函数 $ y = (m - 3)x^{m^{2} - 7} $ 是二次函数,则 $ m $ 的值为$-3$。

答案： $-3$

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 1 $,过该函数图象上 $ A,B $ 两点的直线平行于 $ x $ 轴,若点 $ A $ 的坐标为 $ (0,\frac{3}{2}) $,则点 $ B $ 的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。

答案： $(2,\frac{3}{2})$

6. 在平面直角坐标系中,将抛物线 $ y = x^{2} + 4x - 3 $ 先绕原点旋转 $ 180^{\circ} $,再向下平移 5 个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是$(2, 2)$。

答案： 所得到的抛物线的顶点坐标是$(2, 2)$。

7. 已知二次函数 $ y = x^{2} + 2ax - 4a $,点 $ A(-a,y_{1}) $,$ B(a + 6,y_{2}) $ 都在该函数图象上。
(1) 当 $ a = 3 $ 时,求该二次函数图象的顶点坐标；
(2) 当 $ y_{1} = y_{2} $ 时,求 $ a $ 的值；
(3) 求 $ y_{1} + y_{2} $ 的最小值。

答案：
(1) 当 $a = 3$ 时，二次函数为 $y = x^2 + 6x - 12$。配方得 $y = (x + 3)^2 - 21$，顶点坐标为 $(-3, -21)$。
(2) $y_1 = (-a)^2 + 2a(-a) - 4a = -a^2 - 4a$，$y_2 = (a + 6)^2 + 2a(a + 6) - 4a = 3a^2 + 20a + 36$。由 $y_1 = y_2$ 得 $-a^2 - 4a = 3a^2 + 20a + 36$，整理得 $4a^2 + 24a + 36 = 0$，即 $(a + 3)^2 = 0$，解得 $a = -3$。
(3) $y_1 + y_2 = (-a^2 - 4a) + (3a^2 + 20a + 36) = 2a^2 + 16a + 36$。该二次函数开口向上，对称轴为 $a = -\frac{16}{2 × 2} = -4$，最小值为 $2(-4)^2 + 16(-4) + 36 = 4$。
(1) $(-3, -21)$；
(2) $a = -3$；
(3) $4$。

8. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的二次函数,且其图象在 $ x $ 轴上截得的线段 $ AB $ 长为 4 个单位,当 $ x = 3 $ 时,$ y $ 取得最小值 $ -2 $。
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 若此函数图象上有一点 $ P $,使 $ \triangle PAB $ 的面积为 12 个平方单位,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$；
(2)$(-1,6)$，$(7,6)$。