《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,D为△ABC内一点,E为△ABC外一点,且∠ABC = ∠DBE,∠3 = ∠4.求证：
(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.

答案：
(1)
∵∠ABC=∠DBE，∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE．
∵∠3=∠4，即∠BAD=∠BCE，
∴△ABD∽△CBE（两角对应相等，两三角形相似）．
(2)由
(1)知△ABD∽△CBE，
∴AB/CB=BD/BE，即AB/BD=CB/BE．
∵∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE（两边成比例且夹角相等，两三角形相似）．

10. (1)如图,将边长为4的等边三角形ABC沿MN折叠,点A恰好落在BC边上的点D处,已知AM:AN = 2:3,则CD的长为$\frac{16}{5}$；


(2)如图,矩形ABCD中,AB = 4,AD = 6,O为矩形ABCD的中心,将直角三角形的直角顶点与点O重合,一条直角边OP与OA重合,使Rt△POQ绕点O沿逆时针方向旋转,两条直角边始终与边BC,AB相交,交点分别为点M,N.若BM = x,AN = y,则y与x之间的函数关系式是$y=\frac{13}{x}(1\leqslant x\leqslant 3)$.

答案： $(1)$
本题可先根据折叠性质求出$DM$、$DN$的长度，再通过相似三角形的性质求出$CD$的长度。
步骤一：求出$AM$、$AN$、$DM$、$DN$的长度
已知$AM:AN = 2:3$，设$AM = 2x$，$AN = 3x$。
因为$\triangle ABC$是边长为$4$的等边三角形，所以$AB = AC=BC = 4$，则$BM=4 - 2x$，$CN = 4 - 3x$。
由折叠性质可知$DM = AM = 2x$，$DN = AN = 3x$。
步骤二：证明$\triangle BMD\sim\triangle CDN$
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$。
又因为$\angle MDN=\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle BMD+\angle BDM = 120^{\circ}$，$\angle BDM+\angle CDN = 120^{\circ}$，则$\angle BMD=\angle CDN$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BMD\sim\triangle CDN$。
步骤三：根据相似三角形的性质列方程求解$x$，进而求出$CD$的长度
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BM}{CD}=\frac{DM}{DN}=\frac{BD}{CN}$。
由$\frac{DM}{DN}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$，设$CD = m$，则$BD = 4 - m$，所以$\frac{4 - 2x}{m}=\frac{2}{3}$，$\frac{4 - m}{4 - 3x}=\frac{2}{3}$。
由$\frac{4 - 2x}{m}=\frac{2}{3}$可得$m = 6 - 3x$，将其代入$\frac{4 - m}{4 - 3x}=\frac{2}{3}$中：
$\begin{aligned}\frac{4-(6 - 3x)}{4 - 3x}&=\frac{2}{3}\\frac{3x - 2}{4 - 3x}&=\frac{2}{3}\\3(3x - 2)&=2(4 - 3x)\\9x - 6&=8 - 6x\\9x + 6x&=8 + 6\\15x&=14\\x&=\frac{14}{15}\end{aligned}$
则$CD = 6 - 3×\frac{14}{15}=6-\frac{14}{5}=\boldsymbol{\frac{16}{5}}$。
$(2)$
本题可通过证明三角形相似，根据相似三角形的性质得到$y$与$x$之间的函数关系式。
步骤一：证明$\triangle BOM\sim\triangle ANO$
因为四边形$ABCD$是矩形，$O$为矩形$ABCD$的中心，所以$AO = BO$，$\angle OAN=\angle OBM = 45^{\circ}$。
又因为$\angle AOB=\angle MON = 90^{\circ}$，所以$\angle AON+\angle BON=\angle BOM+\angle BON = 90^{\circ}$，则$\angle AON=\angle BOM$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BOM\sim\triangle ANO$。
步骤二：根据相似三角形的性质列方程求解$y$与$x$之间的函数关系式
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BM}{AO}=\frac{BO}{AN}$。
已知$AB = 4$，$AD = 6$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得$AO = BO=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$（$O$为矩形中心，$AO$、$BO$为矩形对角线的一半，矩形对角线$=\sqrt{4^2 + 6^2}=2\sqrt{13}$）。
因为$BM = x$，$AN = y$，所以$\frac{x}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{y}$，即$y=\boldsymbol{\frac{13}{x}}$（$1\leqslant x\leqslant 3$）。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{16}{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{y=\frac{13}{x}(1\leqslant x\leqslant 3)}$。

11. 如图,已知矩形ABCD,点E在CB的延长线上,点F在BC的延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE = GH.
(1)求证：BE = CF；
(2)当$\frac{AB}{FH}= \frac{5}{6}$,AD = 4时,求EF的长.

答案：
(1)见证明；
(2)$EF = 6$。