《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC与\triangle DBE$中,$\angle A= \angle D$,$\angle ABD= \angle CBE$。求证：$BD\cdot BC= BA\cdot BE$。

答案： 证明：
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE。
在△ABC和△DBE中，
∠A=∠D（已知），
∠ABC=∠DBE（已证），
∴△ABC∽△DBE（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BE}$（相似三角形对应边成比例）。
∴BD·BC=BA·BE（比例的基本性质）。

2. 如图,在$□ ABCD$中,点$E在边AB$上,$DE^{2}= AE\cdot CD$。求证：$AD\cdot CD= CE\cdot DE$。

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC（内错角相等）。
∵DE²=AE·CD，
∴AE/DE=DE/CD。
在△ADE和△DEC中，∠AED=∠EDC，AE/DE=DE/CD，
∴△ADE∽△DEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴AD/CE=DE/CD（相似三角形对应边成比例）。
∴AD·CD=CE·DE。

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,点$E$,$F在AB$上,点$D$,$G分别在BC$,$AC$上,且四边形$DEFG$是正方形,求证：$EF^{2}= BE\cdot AF$。

答案： 证明：
因为$\angle ACB=90^{\circ}$，
所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
因为四边形$DEFG$是正方形，
所以$\angle GEF=\angle EFD=90^{\circ}$，$GF// BC$，
所以$\angle AGF=\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle B+\angle BFG=90^{\circ}$，
所以$\angle A=\angle BFG$。
所以$\triangle AGF\sim\triangle FBE$。
所以$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{EF}$。
因为$GF=EF=DE$，
所以$\frac{EF}{BE}=\frac{AF}{EF}$，
即$EF^2=BE\cdot AF$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于D$,$DE\perp AB于E$,$DF\perp AC于F$,求证：$AE\cdot AB= AF\cdot AC$。

答案： 证明：
$\because AD\perp BC$，$DE\perp AB$，
$\therefore \angle ADB=\angle AED=90^\circ$，
又$\because \angle EAD=\angle DAB$（公共角），
$\therefore \triangle AED\sim \triangle ADB$（两个角对应相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$（相似三角形对应边成比例），
$\therefore AE\cdot AB=AD^2$。
同理，$\triangle AFD\sim \triangle ADC$，
$\therefore AF\cdot AC=AD^2$，
$\therefore AE\cdot AB= AF\cdot AC$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AM是BC$边上的中线,直线$DN// AM$,交$AB于点D$,交$CA的延长线于点E$,交$BC于点N$。求证：$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$。

答案： 证明：
因为$DN// AM$，
所以根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AD}{AB}=\frac{MN}{BM}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{MN}{MC}$。
又因为$AM$是$BC$边上的中线，所以$BM = MC$。
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。