《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 计算$\frac{1}{2}\cos 30^{\circ}$的值为(B)
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.1
D.3

答案： B

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$都是锐角,且$\sin A= \frac{1}{2},\cos B= \frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\triangle ABC$是(B)
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

答案： B

3. 已知锐角$\beta满足方程\tan ^{2}\beta +2\tan \beta -3= 0$,则$\tan \beta$的值为(A)
A.1
B.-3
C.3
D.1或-3

答案： A

4. (1)在$\triangle ABC$中,若$\left|\sin A-\frac{1}{2}\right|+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\tan B\right)^{2}= 0$,则$\angle C$的度数为$120^\circ$；
(2)若$\alpha$为锐角,且关于$x的方程x^{2}-2\sqrt{2}x\sin \alpha +1= 0$有两个相等的实数根,则$\alpha$的度数是$45^\circ$。

答案：
(1) $120^\circ$
(2) $45^\circ$

5. 在$\triangle ABC$中,已知两锐角$\angle A$,$\angle B满足\cos \frac{\angle A+\angle B}{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$\triangle ABC$是直角三角形。

答案： 直角

6. 已知$\alpha$是锐角,若$2\cos \alpha =1$,则$\alpha =$60$^{\circ}$；若$\tan (\alpha +15^{\circ})= 1$,则$\tan \alpha =$$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： 60；$\frac{\sqrt{3}}{3}$

7. 计算：
(1)$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan 60^{\circ})^{2}}$；
(2)$3\tan 30^{\circ}-2\cos 30^{\circ}-\frac{\cos 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$；
(3)$2^{-1}-3\tan 30^{\circ}+(\sqrt{2}-1)^{0}+\sqrt{12}+\cos 60^{\circ}$；
(4)$\frac{2\sin ^{2}60^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\tan ^{2}60^{\circ}+4\cos 45^{\circ}}$。

答案：
(1)
$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan 60^{\circ})^{2}}$
$=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}-1-\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{3}-1-(\sqrt{3}-1)$
$=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1$
$=0$
(2)
$3\tan 30^{\circ}-2\cos 30^{\circ}-\frac{\cos 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$=3 × \frac{\sqrt{3}}{3}-2 × \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3}-1$
$=-1$
(3)
$2^{-1}-3\tan 30^{\circ}+(\sqrt{2}-1)^{0}+\sqrt{12}+\cos 60^{\circ}$
$=\frac{1}{2}-3 × \frac{\sqrt{3}}{3}+1+2\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}-\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
$=2+\sqrt{3}$
(4)
$\frac{2\sin ^{2}60^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\tan ^{2}60^{\circ}+4\cos 45^{\circ}}$
$=\frac{2 ×(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-\frac{1}{2}}{(\sqrt{3})^{2}+4 × \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$=\frac{2 × \frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{3+2\sqrt{2}}$
$=\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{3+2\sqrt{2}}$
$=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
$=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$
$=3-2\sqrt{2}$

8. (1)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 120^{\circ},AB= 4,AC= 2$,求边$BC$的长；

(2)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 60^{\circ},\angle B= 45^{\circ},BC= 6\sqrt{2}$,求$AB$的长。

答案： 8.
(1) 过点$C$作$CD\bot BA$交$BA$的延长线于点$D$。
因为$\angle A = 120^{\circ}$，所以$\angle CAD = 60^{\circ}$，$\angle ACD = 30^{\circ}$。
已知$AC = 2$，在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\frac{1}{2}AC = 1$，$CD=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}$。
$BD=AB + AD=4 + 1 = 5$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{25 + 3}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
(2) 过点$C$作$CD\bot AB$于点$D$。
因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle CDB = 90^{\circ}$，所以$\angle BCD = 45^{\circ}$，$CD = BD$。
已知$BC = 6\sqrt{2}$，在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$2CD^{2}=BC^{2}=(6\sqrt{2})^{2}=72$，$CD^{2}=36$，$CD = 6$，所以$BD = 6$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$\tan A=\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，$AD=\frac{CD}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。
$AB=AD + BD=2\sqrt{3}+6$。