《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle BAD= \angle CAE$,$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$.
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$；
(2)若$AD= \frac{1}{2}AB$,$DE= 6$,求$BC$的长.

答案：
(1) 证明：
因为$\angle BAD = \angle CAE$，所以$\angle BAD + \angle DAC = \angle CAE + \angle DAC$，即$\angle BAC = \angle DAE$。
又因为$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABC \sim \triangle ADE$。
(2) 因为$\triangle ABC \sim \triangle ADE$，所以$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$。
已知$AD = \frac{1}{2}AB$，即$\frac{AB}{AD} = 2$，又$DE = 6$。
将$\frac{AB}{AD} = 2$，$DE = 6$代入$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$，可得$\frac{BC}{6} = 2$，解得$BC = 12$。
综上，
(1)得证$\triangle ABC \sim \triangle ADE$；
(2)中$BC$的长为$12$。

10. (1)如图,在钝角三角形ABC中$,AB= 9\mathrm{cm},AC= 12\mathrm{cm},$动点D从点A出发到点B停止,动点E从点C出发到点A停止. 点D的运动速度为$1\mathrm{cm/s},$点E的运动速度为$\frac{4}{3}\mathrm{cm/s},$如果两点同时出发,设运动时间为$t\mathrm{s},$那么当$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似时,t的值为$\frac{9}{2}，$$\frac{144}{25}$；(2)如图$,AD// BC,\angle D= 90^{\circ},DC= 7,AD= 2,BC= 4. $若在边DC上有一点P使$\triangle PAD$和$\triangle PBC$相似,则DP的长是$\frac{7}{3}，$$\frac{7 + \sqrt{17}}{2}，$$\frac{7 - \sqrt{17}}{2}$.

答案：
(1) $\frac{9}{2}$，$\frac{144}{25}$；
(2) $\frac{7}{3}$，$\frac{7 + \sqrt{17}}{2}$，$\frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

11. 如图,在四边形$ABCD$中,点$E$,$F在边BC$上,连接$AE$,$AF$,$DF$,$\frac{AB}{AF}= \frac{AE}{AD}$,$\angle BAF= \angle EAD$.
(1)求证：$\triangle ABE\backsim\triangle AFD$；
(2)若$\angle B= \angle C$,$AB= 5$,$\frac{AF}{DF}= \frac{5}{4}$,求$CF$的长.

答案：
(1)证明：
∵∠BAF=∠EAD，
∴∠BAF+∠FAE=∠EAD+∠FAE，即∠BAE=∠FAD。
又
∵$\frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AD}$，
∴△ABE∽△AFD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2)
∵△ABE∽△AFD，
∴∠B=∠AFD，$\frac{AB}{AF}=\frac{BE}{FD}$。
∵∠B=∠C，
∴∠AFD=∠C。
∵∠C=∠C，∠DFC=∠FAC（公共角推导），
∴△DFC∽△FAC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{FC}{AC}=\frac{DF}{AF}$。
∵$\frac{AF}{DF}=\frac{5}{4}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{4}{5}$。
∵∠B=∠C，
∴AB=AC=5。
∴$\frac{FC}{5}=\frac{4}{5}$，解得FC=4。
答案：
(1)见证明过程；
(2)4。