《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$□ ABCD$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,过点$D作DE\perp BC交BC的延长线于点E$,连接$AE交CD于点F$.
(1)求证：四边形$ACED$是矩形；
(2)连接$BF$,若$\angle ABC= 60^{\circ}$,$CE= 3$,求$BF$的长.

答案：
(1)见解析；
(2)3√3

10. 如图,在矩形$ABCD$中,$BC= 20cm$,点$P和点Q分别从点B和点D$出发,按逆时针方向沿矩形$ABCD$的边运动,点$P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s$,则最快4$s$时,四边形$ABPQ$成为矩形.

答案： 4。

11. 如图,在$□ ABCD$中,点$E$,$F分别在BC$,$AD$上,$BE= DF$,$AC= EF$.
(1)请判断四边形$AECF$的形状,并说明理由；
(2)若$AB= AD$,且$AC= 4\sqrt{5}$,$EC= 4$,求$□ ABCD$的面积.

答案：
(1)矩形。理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$BE=DF$，
∴$AD-DF=BC-BE$，即$AF=EC$。
∵$AF// EC$且$AF=EC$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
又
∵$AC=EF$，
∴平行四边形$AECF$是矩形。
(2)80。
∵$AB=AD$，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴四边形$ABCD$是菱形，$AB=BC=CD=AD$。
由
(1)知四边形$AECF$是矩形，
∴$\angle AEC=90^\circ$，$AF=EC=4$。
设$BE=DF=x$，则$BC=BE+EC=x+4$，$AD=AF+FD=4+x$，故$AB=AD=x+4$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AE^2+EC^2=AC^2$，
∵$AC=4\sqrt{5}$，$EC=4$，
∴$AE^2+4^2=(4\sqrt{5})^2$，解得$AE=8$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB^2=BE^2+AE^2$，
即$(x+4)^2=x^2+8^2$，解得$x=6$。
∴$BC=x+4=10$。
∴菱形$ABCD$的面积$=BC× AE=10×8=80$。