《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角相等

答案： B

2. 若正方形的周长为12,则这个正方形的对角线长为(B)
A.6
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案： B

3. 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且$EC = AE$,$Rt△FEG$的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N. 若正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$,则重叠部分四边形EMCN的面积为(C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C

4. 若正方形的一条对角线长为10,则这个正方形的面积为50.

答案： 50

5. 如图,正方形ABOC的边长为2,边OB与x轴负半轴的夹角为$30^{\circ}$,则点C的坐标是(1,√3).

答案： (1,√3)

6. 如图,从边长为2的正方形ABCD内部取一点G,使点G与正方形两个相邻的顶点C,D的距离及点G到边AB的距离都相等,则$CG$ = $\frac{5}{4}$.

答案： $\frac{5}{4}$

7. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的点,且$AE = BF$,AF与DE交于点G. 求证：$AF⊥DE$.

答案： 证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD = AB$，$\angle DAE = \angle ABF = 90^{\circ}$。
在$\triangle DAE$和$\triangle ABF$中，
$\begin{cases}AD = AB,\\\angle DAE = \angle ABF,\\AE = BF.\end{cases}$
所以$\triangle DAE\cong\triangle ABF(SAS)$。
所以$\angle ADE=\angle BAF$。
因为$\angle ADE+\angle AED = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAF+\angle AED = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEG$中，$\angle AGE = 180^{\circ}-(\angle BAF+\angle AED)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$AF\perp DE$。

8. 如图,把正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H. 求证：$HG = HB$.

答案： 证明：连接AH。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=90°。
∵正方形AEFG是正方形ABCD绕点A顺时针旋转得到的，
∴AG=AE=AB，∠AGF=90°。
∴∠AGH=∠ABH=90°。
在Rt△AGH和Rt△ABH中，
∵AH=AH，AG=AB，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）。
∴HG=HB。