《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (-2,0) $,对称轴为直线 $ x = 1 $,则该抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点坐标为(C)
A.$ (2,0) $
B.$ (3,0) $
C.$ (4,0) $
D.$ (5,0) $

答案： C

2. 抛物线 $ y = -3x^{2} - x + 4 $ 与坐标轴的交点个数为(A)
A.3
B.2
C.1
D.0

答案： A

3. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 3x + m $($ m $ 为常数)的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1,0) $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + m = 0 $ 的两实数根是(B)
A.$ x_{1} = 1,x_{2} = -1 $
B.$ x_{1} = 1,x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = 1,x_{2} = 0 $
D.$ x_{1} = 1,x_{2} = 3 $

答案： B

4. 若抛物线 $ y = 2x^{2} + mx + 8 $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点,则 $ m $ 的值为$\pm8$。

答案： $\pm8$

5. 二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴两交点之间的距离为4。

答案： 4

6. 已知二次函数 $ y = (k - 1)x^{2} + 2x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,则 $ k $ 的取值范围是$k \geq 0$。

答案： $k \geq 0$

7. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^{2} + 2ax - 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,且有 $ OB = 2OA $。求 $ A,B $ 两点的坐标,及这个抛物线的表达式。

答案： 解答过程：
1. 设点坐标：设 $ A(m,0) $，$ B(n,0) $，由 $ OB=2OA $ 及抛物线与 $ x $ 轴交点分布（结合图像），设 $ A $ 在原点右侧，$ B $ 在原点左侧，则 $ OA=m $，$ OB=-n $，故 $ -n=2m $，即 $ n=-2m $（$ m＞0 $）。
2. 韦达定理应用：对于方程 $ ax^2+2ax-4=0 $，两根之和 $ m+n=-2 $（由韦达定理 $ x_1+x_2=-\frac{2a}{a}=-2 $）。
代入 $ n=-2m $：$ m+(-2m)=-2 \Rightarrow -m=-2 \Rightarrow m=2 $。
则 $ A(2,0) $，$ n=-2m=-4 $，即 $ B(-4,0) $。
3. 求 $ a $ 值：由韦达定理，两根之积 $ m \cdot n=-\frac{4}{a} $。
代入 $ m=2 $，$ n=-4 $：$ 2 × (-4)=-\frac{4}{a} \Rightarrow -8=-\frac{4}{a} \Rightarrow a=\frac{1}{2} $。
4. 抛物线表达式：将 $ a=\frac{1}{2} $ 代入 $ y=ax^2+2ax-4 $，得 $ y=\frac{1}{2}x^2+x-4 $。
结论：
$ A(2,0) $，$ B(-4,0) $；
抛物线表达式为 $ y=\frac{1}{2}x^2+x-4 $。

8. 新定义：$[a,b,c]$ 为二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a \neq 0,a,b,c $ 为实数)的“图象数”,如：$ y = -x^{2} + 2x + 3 $ 的“图象数”为 $[-1,2,3]$。
(1)“图象数”为 $[1,-1,0]$ 的二次函数的表达式为$ y = x^{2} - x $；
(2)求证：“图象数”为 $[1,m + 3,m]$ 的二次函数的图象与 $ x $ 轴恒有两个交点。
证明：二次函数表达式为 $ y = x^{2} + (m + 3)x + m $，其中 $ a = 1 $，$ b = m + 3 $，$ c = m $。
判别式 $ \Delta = b^{2} - 4ac = (m + 3)^{2} - 4 × 1 × m $
$ = m^{2} + 6m + 9 - 4m $
$ = m^{2} + 2m + 9 $
$ = (m + 1)^{2} + 8 $
因为 $ (m + 1)^{2} \geq 0 $，所以 $ (m + 1)^{2} + 8 ＞ 0 $，即 $ \Delta ＞ 0 $。
因此，该二次函数的图象与 $ x $ 轴恒有两个交点。

答案：
(1) $ y = x^{2} - x $
(2) 证明：二次函数表达式为 $ y = x^{2} + (m + 3)x + m $，其中 $ a = 1 $，$ b = m + 3 $，$ c = m $。
判别式 $ \Delta = b^{2} - 4ac = (m + 3)^{2} - 4 × 1 × m $
$ = m^{2} + 6m + 9 - 4m $
$ = m^{2} + 2m + 9 $
$ = (m + 1)^{2} + 8 $
因为 $ (m + 1)^{2} \geq 0 $，所以 $ (m + 1)^{2} + 8 ＞ 0 $，即 $ \Delta ＞ 0 $。
因此，该二次函数的图象与 $ x $ 轴恒有两个交点。

9. 如图,抛物线 $ y = -\frac{1}{12}x^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。若点 $ P $ 是线段 $ AC $ 上方的抛物线上一动点,当 $ \triangle ACP $ 的面积取最大值时,求点 $ P $ 的坐标。

答案： $P(5,\frac{35}{12})$