《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(C)
A.对角互补
B.四个角相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等

答案： C

2. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ AB $ 的中点,连接 $ CD $,若 $ CD = 3 $,则 $ AB $ 的长为(B)
A.$ 5 $
B.$ 6 $
C.$ 7 $
D.$ 8 $

答案： B

3. 在平面直角坐标系中,矩形 $ ABCD $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(-6,2) $,$ B(2,2) $,$ C(2,-3) $,则顶点 $ D $ 的坐标为(C)
A.$ (-6,3) $
B.$ (3,-6) $
C.$ (-6,-3) $
D.$ (-3,-6) $

答案： C

4. 如图,在正方形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 的延长线上取一点 $ E $,使 $ CE = AC $,连接 $ AE $,那么 $ \angle ACB = $45$^{\circ} $,$ \angle E = $22.5$^{\circ} $。

答案： 45，22.5

5. 如图,在直角坐标系中,矩形 $ OABC $ 的顶点 $ B $ 的坐标是 $ (1,3) $,则 $ AC $ 的长是$\sqrt{10}$。

答案： $\sqrt{10}$

6. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,$ AC = 16 $,$ BD = 12 $,点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点,连接 $ OE $,则 $ OE $ 的长为5。

答案： 5

7. 如图,过 $ \triangle ABC $ 的顶点 $ A $ 分别作 $ \angle ACB $ 及 $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle ACD $ 的平分线的垂线,垂足分别为 $ E $,$ F $,求证：四边形 $ AECF $ 是矩形。

答案： 证明：
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCD。
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），
∴∠ACE+∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACD)=90°，即∠ECF=90°。
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°。
在四边形AECF中，∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。

8. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AE \perp BC $ 于点 $ E $,$ AF \perp CD $ 于点 $ F $。
(1) 求证：$ BE = DF $；
(2) 当 $ \angle BAD = 110^{\circ} $ 时,求 $ \angle EAF $ 的度数。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°。
在△ABE和△ADF中，
∠AEB=∠AFD，
∠B=∠D，
AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴BE=DF。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=110°，
∴AD//BC，∠B=180°-∠BAD=70°。
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=20°。
同理，∠DAF=20°。
∵∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF，
∴∠EAF=110°-20°-20°=70°。