《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知有一块三角形材料$ABC$,其中$BC = 120cm$,高$AD = 80cm$,现需要在三角形材料$ABC$上裁下一个正方形材料做零件,使得正方形$EFGH的顶点E$,$F分别在AB$,$AC$上,顶点$H$,$G在BC$上,$AD交EF于点M$,求裁下的正方形$EFGH$的边长。

答案： 设正方形EFGH的边长为$x\ cm$。
因为四边形EFGH是正方形，所以$EF // BC$，$EF = EH = x$，且$EH \perp BC$。
由于$EF // BC$，故$\triangle AEF \sim \triangle ABC$（AA相似判定）。
$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD = 80\ cm$，$AD$交$EF$于点$M$，则$AM$是$\triangle AEF$的高，$MD = EH = x$，故$AM = AD - MD = 80 - x$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{AM}{AD} = \frac{EF}{BC}$，即$\frac{80 - x}{80} = \frac{x}{120}$。
解方程：$120(80 - x) = 80x$，$9600 - 120x = 80x$，$200x = 9600$，$x = 48$。
答：裁下的正方形EFGH的边长为$48\ cm$。

10. 如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分,其中一部分与原三角形相似,那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”。如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle B = 90^{\circ}$,$BC = 1$,则$\triangle ABC$的“形似线段”的长是$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABOC的顶点B$,$C分别在x$轴、$y$轴的正半轴上,点$A的坐标为(8,6)$,点$P在矩形ABOC$的内部,点$E在BO$边上,且满足$\triangle PBE \backsim \triangle CBO$,当$\triangle APC$是等腰三角形时,求点$P$的坐标。

答案： 解答：
1. 确定矩形顶点坐标
矩形$ABOC$中，$O(0,0)$，$B(8,0)$，$C(0,6)$，$A(8,6)$。
2. 设点坐标并利用相似关系
设$E(e,0)$（$0＜e＜8$），$\triangle PBE \backsim \triangle CBO$。
$\triangle CBO$为直角三角形，$BO=8$，$CO=6$，$\angle BOC=90^\circ$。
由相似性质，$\angle PEB=90^\circ$，$\frac{BE}{BO}=\frac{PE}{CO}$。
$BE=8-e$，则$\frac{8-e}{8}=\frac{PE}{6}$，得$PE=\frac{3}{4}(8-e)$。
故$P(e,\frac{3}{4}(8-e))$。
3. 分类讨论$\triangle APC$为等腰三角形
$A(8,6)$，$C(0,6)$，$AC=8$。
情况1：$AP=PC$
$(8-e)^2+(6-\frac{3}{4}(8-e))^2 = e^2+(\frac{3}{4}(8-e)-6)^2$
化简得$(8-e)^2=e^2$，解得$e=4$。
$P(4,\frac{3}{4}(8-4))=(4,3)$。
情况2：$PC=AC$
$e^2+(\frac{3}{4}(8-e)-6)^2=64$
化简得$\frac{25}{16}e^2=64$，解得$e=\frac{32}{5}$（$e=-\frac{32}{5}$舍去）。
$P(\frac{32}{5},\frac{3}{4}(8-\frac{32}{5}))=(\frac{32}{5},\frac{6}{5})$。
情况3：$AP=AC$
解得$e=\frac{256}{25}＞8$（超出范围，舍去）。
点$P$的坐标为$(4,3)$或$(\frac{32}{5},\frac{6}{5})$。
$\boxed{(4,3)}$，$\boxed{\left(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5}\right)}$