《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D$ 为 $AC$ 上的一点,$DE \perp AB$ 于点 $E$,$AC = 8$,$BC = 6$。
(1) 求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$；
(2) 当 $DE = DC$ 时,求 $AD$ 的长。

答案：
(1) 证明：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，所以$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$。
又因为$\angle A$是公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 8$，$BC = 6$，则$AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
设$AD = x$，则$DC = 8 - x$，又$DE = DC$，即$DE = 8 - x$。
代入$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$得$\frac{x}{10}=\frac{8 - x}{6}$。
交叉相乘得$6x = 10×(8 - x)$，即$6x = 80 - 10x$。
移项得$6x + 10x = 80$，$16x = 80$，解得$x=\frac{80}{16}=5$。
所以$AD$的长为$5$。

10. (1) 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 6$,$AC = 4$,$P$ 是 $AC$ 的中点,过点 $P$ 的直线交 $AB$ 于点 $Q$,若 $\triangle APQ$ 与 $\triangle ABC$ 相似,则 $AQ$ 的长为3或$\frac{4}{3}$；

(2) 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 12$。按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心,适当长为半径作圆弧,分别交边 $AB$,$AC$ 于点 $M$,$N$；②分别以点 $M$ 和点 $N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作圆弧,在 $\angle BAC$ 内,两弧交于点 $P$；③作射线 $AP$ 交边 $BC$ 于点 $D$。若 $\triangle DAC \backsim \triangle ABC$,则 $BD = $4$\sqrt{3}$。

答案：
(1)3或$\frac{4}{3}$；
(2)4$\sqrt{3}$

11. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $DC$ 上的一点,连接 $AE$,把 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 翻折,使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处。
(1) 求证：$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$；
(2) 若 $AB = 4\sqrt{3}$,$AD = 8$,求 $CE$ 的长。

答案：
(1) 证明：
因为四边形 $ABCD$ 为矩形，
所以$\angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$。
由翻折的性质，可得$\angle D=\angle AFE=90^\circ$，
所以$\angle AFB + \angle EFC = 90^\circ$，$\angle EFC + \angle FEC = 90^\circ$。
所以$\angle AFB = \angle FEC$。
因此$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$。
(2) 因为四边形 $ABCD$ 为矩形，
所以$AB=CD=4\sqrt{3}$，$AD=BC=8$。
由翻折的性质，可得$AD = AF = 8$，$DE = EF$。
在$Rt\triangle ABF$中，$BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = 4$。
所以$FC = BC - BF = 8 - 4 = 4$。
设$CE = x$，则$DE = EF = 4\sqrt{3} - x$。
在$Rt\triangle EFC$中，$EF^2 = FC^2 + CE^2$，
即$(4\sqrt{3} - x)^2 = 4^2 + x^2$，
解得$x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
所以$CE$的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。