《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,点 $ E $,$ F $ 在对角线 $ BD $ 上,且 $ BF = DE $,
(1) 求证：四边形 $ AECF $ 是菱形；
(2) 若 $ AB = 2 $,$ BF = 1 $,求四边形 $ AECF $ 的面积。

答案：
(1) 证明见上；
(2) 4-2√2。

10. 如图,已知正方形 $ ABCD $ 的边长是 $ \sqrt{6} $,对角线的交点为 $ O $,点 $ E $ 在边 $ CD $ 上且 $ CE = \sqrt{2} $,$ CF \perp BE $ 于点 $ F $,连接 $ OF $,则 $ OF $ 的长为______(3-√3)/2。

答案： (3-√3)/2

11. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4 + 4\sqrt{2} $,$ E $ 为 $ AB $ 上一点,$ FG $ 垂直平分 $ CE $,交 $ AD $ 于点 $ G $,交 $ BC $ 于点 $ F $,交 $ CE $ 于点 $ O $,连接 $ EF $,$ CG $。
(1) 求证：$ BE + DG = CF $；
(2) 若 $ BE = BF $,求 $ DG $ 的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$FG$垂直平分$CE$，所以$EF = CF$，$CG = EG$。
在正方形$ABCD$中，$AB = BC = CD = AD$，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$。
设$BE=x$，$DG = y$，则$AE=AB - BE=(4 + 4\sqrt{2})-x$，$AG=AD - DG=(4 + 4\sqrt{2})-y$。
在$Rt\triangle AEG$中，$EG^{2}=AE^{2}+AG^{2}=[(4 + 4\sqrt{2})-x]^{2}+[(4 + 4\sqrt{2})-y]^{2}$；在$Rt\triangle CBE$中，$CE^{2}=BE^{2}+BC^{2}=x^{2}+(4 + 4\sqrt{2})^{2}$；在$Rt\triangle CDG$中，$CG^{2}=CD^{2}+DG^{2}=(4 + 4\sqrt{2})^{2}+y^{2}$。
又因为$EF = CF$，$CG = EG$，$BC = CD$。
我们还可以通过平移的方法：
过点$G$作$GH\perp BC$于$H$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$GH = CD$，$\angle D=\angle GHC = 90^{\circ}$，$\angle HGD+\angle DGH = 90^{\circ}$，$\angle FCG+\angle DGH = 90^{\circ}$（因为$FG\perp CE$，所以$\angle FOC = 90^{\circ}$），则$\angle HGD=\angle FCG$。
又因为$CD = GH$，$\angle D=\angle GHC = 90^{\circ}$，$\triangle CDG\cong\triangle GHF(AAS)$（$\angle D=\angle GHF = 90^{\circ}$，$\angle DCG=\angle HGF$，$CD = GH$）。
设$BE=x$，$DG = y$，$CF = EF$。
由$\triangle CDG\cong\triangle GHF$得$HF = DG$。
因为$CF=CH + HF$，$CH = BE$，所以$BE + DG=CF$。
2. （2）解：
设$BE = BF=x$，则$CF=BC - BF=(4 + 4\sqrt{2})-x$。
由（1）知$BE + DG=CF$，设$DG = y$，则$x + y=(4 + 4\sqrt{2})-x$，即$y=(4 + 4\sqrt{2})-2x$。
因为$EF = CF=(4 + 4\sqrt{2})-x$，在$Rt\triangle BEF$中，根据勾股定理$EF^{2}=BE^{2}+BF^{2}$（因为$BE = BF$）。
所以$[(4 + 4\sqrt{2})-x]^{2}=x^{2}+x^{2}$。
展开$(4 + 4\sqrt{2})^{2}-2(4 + 4\sqrt{2})x+x^{2}=2x^{2}$。
即$x^{2}+2(4 + 4\sqrt{2})x-(4 + 4\sqrt{2})^{2}=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = 2(4 + 4\sqrt{2})$，$c=-(4 + 4\sqrt{2})^{2}$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算$b^{2}-4ac = 4(4 + 4\sqrt{2})^{2}+4(4 + 4\sqrt{2})^{2}=8(4 + 4\sqrt{2})^{2}$。
则$x=\frac{-2(4 + 4\sqrt{2})\pm\sqrt{8(4 + 4\sqrt{2})^{2}}}{2}$。
因为$x\gt0$，$x = 4$。
把$x = 4$代入$y=(4 + 4\sqrt{2})-2x$。
得$y=(4 + 4\sqrt{2})-2×4=4\sqrt{2}-4$。
所以（1）得证；（2）$DG$的长为$4\sqrt{2}-4$。