《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,过点 $A$ 作 $AE \perp BC$ 于点 $E$,若 $OB = 2$,$S_{菱形ABCD} = 4$,求 $AE$ 的长。

答案： $\because$四边形$ABCD$是菱形，$OB = 2$，$S_{菱形ABCD} = 4$
$\therefore AC\bot BD$，$AC = 2OC$，$BD = 2OB = 4$
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}× AC× 4 = 4$
$\therefore AC = 2$
$\therefore OC = 1$
在$Rt\triangle BOC$中，$BC = \sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
$\because S_{菱形ABCD}=BC× AE = 4$
$\therefore AE =\frac{4}{BC}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
综上，$AE$的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$

9. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 $AOBC$ 的顶点 $O$ 在原点上,$OB$ 在 $x$ 轴的正半轴上,$B(4,0)$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$OC$,$AB$ 交于点 $E$。
(1) 求 $A$,$C$,$E$ 三点的坐标；
(2) 求 $S_{菱形AOBC}$ 的值。

答案：
(1) 因为四边形AOBC是菱形，所以AB=BC，AC=OB，AC//OB。
已知B(4,0)，则OB=4，故AC=4。设A(m,n)，因AC//OB且AC=4，得C(m+4,n)。
由AB=BC，得√[(m-4)²+n²]=√[m²+n²]，解得m=2，故A(2,n)，C(6,n)。
向量BA=(-2,n)，向量BC=(2,n)，∠ABC=60°，则cos60°=(BA·BC)/(|BA||BC|)。
BA·BC=n²-4，|BA|=|BC|=√(4+n²)，代入得(n²-4)/(4+n²)=0.5，解得n=2√3（n＞0）。
故A(2,2√3)，C(6,2√3)。
E为OC中点，O(0,0)，C(6,2√3)，则E((0+6)/2,(0+2√3)/2)=(3,√3)。
(2) 菱形AOBC的面积=底×高=AC×n=4×2√3=8√3。
(1) A(2,2√3)，C(6,2√3)，E(3,√3)；
(2) 8√3。

10. 如图,菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$,$\angle D = 120^{\circ}$,点 $Q$ 是 $BC$ 的中点,点 $P$ 是对角线 $AC$ 上一动点,则 $PB + PQ$ 的最小值为______$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

11. 如图,$AC$,$BD$ 为菱形 $ABCD$ 的对角线,$\angle BAD = 60^{\circ}$,点 $E$,$F$ 分别在 $AD$,$CD$ 边上,且 $\angle EBF = 60^{\circ}$。
(1) 求证：$\triangle BEF$ 是等边三角形；
(2) 若 $\angle ABE = 15^{\circ}$,$AB = 1 + \sqrt{3}$,求 $BE$ 的长。

答案：
(1) 见证明过程；
(2) $\sqrt{6}$．