《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 若点 $ A(-2,y_1) $,$ B(-1,y_2) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上,则(C)
A.$ y_1 ＜ y_2 $
B.$ y_1 = y_2 $
C.$ y_1 ＞ y_2 $
D.不能确定

答案： C

2. 如图,正比例函数 $ y = k_1x $ 与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象交于 $ A(1,m) $,$ B $ 两点,当 $ k_1x \leq \frac{k_2}{x} $ 时,$ x $ 的取值范围是(B)

A.$ -1 \leq x ＜ 0 $ 或 $ x \geq 1 $
B.$ x \leq -1 $ 或 $ 0 ＜ x \leq 1 $
C.$ x \leq -1 $ 或 $ x \leq 1 $
D.$ -1 \leq x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x \leq 1 $

答案： B

3. 如图,菱形 $ OABC $ 的边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上,边 $ BC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $,点 $ B $ 的横坐标为 $ 1 $,$ OD = 3BD $,点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,则 $ k $ 的值为(B)

A.$ 12 $
B.$ -12 $
C.$ 15 $
D.$ -15 $

答案： B

4. 在平面直角坐标系中,将点 $ A(2,3) $ 向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到点 $ B $,若点 $ B $ 恰好在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,则 $ k = $-4。

答案： -4

5. 如图,$ A $ 是双曲线 $ y = \frac{8}{x}(x ＞ 0) $ 上的一点,$ C $ 是 $ OA $ 的中点,过点 $ C $ 作 $ y $ 轴的垂线,垂足为 $ D $,交双曲线于点 $ B $,则 $ \triangle ABD $ 的面积是4。

答案： 4

6. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = -2x + 8 $ 的图象与坐标轴交于 $ A $,$ B $ 两点,且与反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ C $,$ D $,则 $ \triangle OCD $ 的面积为8。

答案： 8

7. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y = x + 2 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 的坐标为 $ (-4,n) $。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： （1）将$B(-4,n)$代入$y = x + 2$，得$n=-4 + 2=-2$，则$B(-4,-2)$。
把$B(-4,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = (-4)×(-2)=8$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{8}{x}$。
（2）联立$\begin{cases}y = x + 2\\y=\frac{8}{x}\end{cases}$，即$x + 2=\frac{8}{x}$，$x^{2}+2x - 8 = 0$，$(x + 4)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=2$。
当$x = 2$时，$y = 2 + 2 = 4$，所以$A(2,4)$。
在$y = x + 2$中，令$y = 0$，得$x=-2$，所以$C(-2,0)$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2 = 6$。
综上，答案为：（1）$y=\frac{8}{x}$；（2）$6$。

8. 如图,点 $ A(1,6) $ 和 $ B(n,2) $ 是一次函数 $ y_1 = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象的两个交点。
(1) 一次函数的表达式为$y = -2x + 8$,反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$；
(2) 设点 $ P $ 是 $ y $ 轴上的一个动点,当 $ \triangle PAB $ 的周长最小时,求点 $ P $ 的坐标。

点$P$的坐标为$(0,5)$。

答案： （1）
由题意，点$A(1,6)$在反比例函数$y_2 = \frac{m}{x}$上，代入得：
$6 = \frac{m}{1} \Rightarrow m = 6$，
所以反比例函数为$y_2 = \frac{6}{x}$。
点$B(n,2)$在反比例函数上，代入得：
$2 = \frac{6}{n} \Rightarrow n = 3$，
所以点$B$的坐标为$(3,2)$。
点$A(1,6)$和点$B(3,2)$在一次函数$y_1 = kx + b$上，代入得：
$\begin{cases}k + b = 6, \\3k + b = 2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -2, \\b = 8.\end{cases}$
所以一次函数为$y_1 = -2x + 8$。
答案为：$y = -2x + 8$；$y = \frac{6}{x}$。
（2）
作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，此时$\triangle PAB$的周长最小。
因为点$A(1,6)$，所以点$C$的坐标为$(-1,6)$。
设直线$BC$的解析式为$y = ax + c$，代入点$B(3,2)$和点$C(-1,6)$得：
$\begin{cases}3a + c = 2, \\-a + c = 6.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1, \\c = 5.\end{cases}$
所以直线$BC$的解析式为$y = -x + 5$。
令$x = 0$，解得$y = 5$，所以点$P$的坐标为$(0,5)$。
答案为：$(0,5)$。