《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 某风景区观景缆车路线如图所示,缆车从点 $A$ 出发,途经点 $B$ 后到达山顶 $P$,其中 $AB = 400$ 米,$BP = 200$ 米,且 $AB$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $15^{\circ}$,$BP$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $30^{\circ}$,求缆车路线的垂直高度 $PC$。(结果精确到 $1$ 米,参考数据：$\sin 15^{\circ} \approx 0.259$,$\cos 15^{\circ} \approx 0.966$,$\tan 15^{\circ} \approx 0.268$)

答案： 过点B作BD⊥AC于点D，BE⊥PC于点E。
在Rt△ABD中，AB=400米，∠BAD=15°，
sin15°=BD/AB，
BD=AB·sin15°≈400×0.259=103.6米。
在Rt△PBE中，BP=200米，∠PBE=30°，
sin30°=PE/BP，
PE=BP·sin30°=200×0.5=100米。
PC=PE+EC=PE+BD≈100+103.6=203.6米≈204米。
答：缆车路线的垂直高度PC约为204米。

10. 如图,$\triangle ABC$ 中,$\angle A = 30^{\circ}$,$E$ 为 $AC$ 上一点,且 $AE:EC = 3:1$,$EF \perp AB$ 于点 $F$,连接 $FC$,则 $\tan \angle CFB$ 的值为______(4√3)/3。

答案： (4√3)/3

11. 设 $\theta$ 为直角三角形的一个锐角,给出 $\theta$ 角三角函数的两条基本性质：① $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$；② $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,利用这些性质解答本题。已知 $\cos \theta + \sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$,求值：
(1) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$；
(2) $|\cos \theta - \sin \theta|$。

答案：
(1)
因为 $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$，
已知 $\cos\theta + \sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$，两边平方得 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$，
即 $\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{3}{2}$，
因为 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，所以 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2}$，
解得 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}$，即 $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$，
则 $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$。
(2)
$|\cos\theta - \sin\theta| = \sqrt{(\cos\theta - \sin\theta)^2} = \sqrt{\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta} = \sqrt{1 - 2\sin\theta\cos\theta}$，
由
(1)知 $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$，代入得 $\sqrt{1 - 2×\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(1) $4$；
(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$