《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

5. 如图1是一个手机支架,图2是其侧面示意图,$AB$,$BC可分别绕点A$,$B$转动,测量知$AB = 10cm$,$BC = 8cm$.当$AB$,$BC转动到\angle BAE = 70^{\circ}$,$\angle ABC = 65^{\circ}$时,求点$C到直线AE$的距离.(结果精确到$0.1cm$,参考数据:$\sin 70^{\circ} \approx 0.94$,$\cos 70^{\circ} \approx 0.34$,$\sqrt{2} \approx 1.41$)

答案： 过点B作BF⊥AE于F，过点C作CD⊥AE于D，过点B作BG⊥CD于G。
在Rt△ABF中，∠BAE=70°，AB=10cm，
BF=AB·sin70°≈10×0.94=9.4cm。
∵∠BAE=70°，BF⊥AE，
∴∠ABF=90°-70°=20°。
∵∠ABC=65°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=65°-20°=45°。
在Rt△BCG中，BC=8cm，∠CBG=45°，
CG=BC·sin45°=8×(√2/2)=4√2≈4×1.41=5.64cm。
∵CD=BF-CG，
∴CD≈9.4-5.64=3.76≈3.8cm。
答：点C到直线AE的距离约为3.8cm。

6. 如图,为了测量无人机的飞行高度,在水平地面上选择观测点$A$,$B$.无人机悬停在$C$处,此时在$A处测得C处的仰角为36^{\circ}52'$;无人机垂直上升$5m悬停在D$处,此时在$B处测得D处的仰角为63^{\circ}26'$.已知$AB = 10m$,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一平面内,$A$,$B两点在CD$的同侧.求无人机在$C$处时离地面的高度.(参考数据:$\tan 36^{\circ}52' \approx 0.75$,$\tan 63^{\circ}26' \approx 2.00$)

答案： 设无人机在$ C $处离地面的高度为$ h $米，则在$ D $处离地面的高度为$ h + 5 $米。过$ C $，$ D $分别作地面的垂线，垂足为$ E $，则$ CE = h $，$ DE = h + 5 $，且$ CE \perp $地面，$ DE \perp $地面。
设$ BE = x $米，因为$ A $，$ B $在$ CD $同侧，故$ E $在$ B $右侧，$ AE = AB + BE = 10 + x $米。
在$ Rt\triangle ACE $中，$ \tan 36^\circ 52' = \frac{CE}{AE} \approx 0.75 $，即$ \frac{h}{10 + x} = 0.75 $，得$ h = 0.75(10 + x) $ ①。
在$ Rt\triangle BDE $中，$ \tan 63^\circ 26' = \frac{DE}{BE} \approx 2.00 $，即$ \frac{h + 5}{x} = 2 $，得$ h + 5 = 2x $，则$ x = \frac{h + 5}{2} $ ②。
将②代入①：$ h = 0.75\left(10 + \frac{h + 5}{2}\right) $。
化简得：$ h = 7.5 + \frac{3}{8}(h + 5) $。
两边乘8：$ 8h = 60 + 3h + 15 $。
解得：$ 5h = 75 $，$ h = 15 $。
答：无人机在$ C $处时离地面的高度为$ 15 $米。

7. 如图,某无人机爱好者在一小区外放飞无人机,当无人机飞行到点$D$处时,无人机测得操控者$A的俯角为75^{\circ}$,测得小区楼房$BC顶端点C处的俯角为45^{\circ}$.已知操控者$A和小区楼房BC之间的距离为45$米,无人机的高度为$(30 + 15\sqrt{3})$米.(结果保留根号,参考数据:$\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$,$\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$)
(1)求小区楼房$BC$的高度;
(2)若无人机以$5$米/秒的速度继续沿平行于$AB$的路线向右匀速飞行.问:经过多少秒,无人机刚好离开操控者的视线?

答案：
(1)过点$D$作$DE \perp$地面于点$E$，则$DE = 30 + 15\sqrt{3}$米，设$AE = x$米。
在$Rt\triangle ADE$中，$\tan 75^\circ = \frac{DE}{AE}$，即$2 + \sqrt{3} = \frac{30 + 15\sqrt{3}}{x}$，解得$x = \frac{30 + 15\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 15$米（分母有理化过程略）。
$\because AB = 45$米，$\therefore EB = AB - AE = 45 - 15 = 30$米。
过点$C$作$CF \perp DE$于点$F$，则$CF = EB = 30$米，$DF = DE - BC$。
在$Rt\triangle DFC$中，$\tan 45^\circ = \frac{DF}{CF}$，即$1 = \frac{DE - BC}{30}$，$\therefore DE - BC = 30$，$BC = DE - 30 = (30 + 15\sqrt{3}) - 30 = 15\sqrt{3}$米。
(2)以$A$为原点，$AB$为$x$轴，建立坐标系：$A(0,0)$，$B(45,0)$，$C(45,15\sqrt{3})$，无人机飞行路线为$y = 30 + 15\sqrt{3}$。
直线$AC$的解析式：$k = \frac{15\sqrt{3}}{45} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$。
联立$\begin{cases}y = \frac{\sqrt{3}}{3}x \\ y = 30 + 15\sqrt{3}\end{cases}$，解得$x = 45 + 30\sqrt{3}$。
无人机初始横坐标为$15$，飞行距离为$45 + 30\sqrt{3} - 15 = 30 + 30\sqrt{3}$米。
时间$t = \frac{30 + 30\sqrt{3}}{5} = 6 + 6\sqrt{3}$秒。
(1)$15\sqrt{3}$米；
(2)$6 + 6\sqrt{3}$秒。