《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动,在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美,但路陡难行,为了便于向景区管理处建议在这两山顶间建观光索道,他们分别在两山顶上取A,B两点,并过点B架设一水平线型轨道CD(如图所示),使得∠ABC = α,从点B出发按CD方向前进20米到达点E,即BE = 20米,测得∠AEB = β,已知$\sin\alpha = \frac{24}{25}$,$\tan\beta = 3$,求A,B两点间的距离。

答案： 过点$A$作$AF\perp CD$于点$F$。
在$Rt\triangle ABF$中，$\sin\alpha=\frac{AF}{AB}=\frac{24}{25}$，设$AF = 24x$，则$AB = 25x$，由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^{2}-AF^{2}} = 7x$。
在$Rt\triangle AEF$中，$\tan\beta=\frac{AF}{EF}=3$，因为$AF = 24x$，所以$EF = 8x$。
又因为$BE = 20$米，且$EF - BF = BE$，即$8x - 7x = 20$，解得$x = 20$。
所以$AB = 25x = 25×20 = 500$（米）。
综上，$A$，$B$两点间的距离为$500$米。

10. 小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度。如图,小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处,测得树尖E的仰角为15°,然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处,又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处,大树所在斜坡的坡度$i = 3:4$,且大树的底端与坡脚的距离CD为15米,则大树ED的高约为7.0。(结果精确到0.1米,参考数据：$\sin15°≈0.26$,$\cos15°≈0.97$,$\tan15°≈0.27$,$\sqrt{3}≈1.73$)

答案： 7.0

11. 如图是旗杆及升旗台的剖面示意图,MN,CD为水平线,旗杆AB⊥CD于点B。某一时刻,旗杆AB的一部分影子BD落在CD上,另一部分影子DE落在坡面DN上,已知BD = 1.2m,DE = 1.4m。同一时刻,测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m(标杆影子在坡面DN上),此时光线AE与水平线的夹角为80.5°,求旗杆AB的高度。(结果精确到0.1m,参考数据：$\sin80.5°≈0.99$,$\cos80.5°≈0.17$,$\tan80.5°≈5.98$)

答案： 12.8m