《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 已知关于$x的方程x^{2}-(2m + 1)x + m(m + 1)= 0$。
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 设方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,用配方法求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的最小值。

答案：
(1) 证明见上述过程；
(2) $\frac{1}{2}$。

10. (1) 设$a,b是一元二次方程3x^{2}-2x - 7 = 0$的两根,则$3a^{2}-a + b= $$\dfrac{23}{3}$；
(2) 若$a,b是方程x^{2}+4x - 5 = 0$的两个实数根,则代数式$a^{2}+5a + b$的值为1；
(3) 设一元二次方程$x^{2}-2025x + 1 = 0的两根分别为a,b$,根据一元二次方程根与系数的关系可知：$ab= $1,记$S_{1}= \frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b},S_{2}= \frac{1}{1 + a^{2}}+\frac{1}{1 + b^{2}},S_{3}= \frac{1}{1 + a^{3}}+\frac{1}{1 + b^{3}},…,S_{10}= \frac{1}{1 + a^{10}}+\frac{1}{1 + b^{10}}$,那么$S_{1}+S_{2}+S_{3}+…+S_{10}= $10。

答案：
(1) $\boxed{\dfrac{23}{3}}$
(2) $\boxed{1}$
(3) 第一空 $\boxed{1}$，第二空 $\boxed{10}$

11. 已知关于$x的方程x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+\frac{1}{2}= 0$有两个不相等的实数根。
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若$m$为(1)中符合条件的最小正整数,设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,求代数式$\frac{1}{3}\alpha^{3}+\frac{1}{3}\alpha^{2}\beta - 3\alpha$的值。

答案：
(1) 对于方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+\frac{1}{2}= 0$，判别式$\Delta = [-(2m+1)]^{2}-4×1×(m^{2}+\frac{1}{2})$。
展开计算得：$\Delta = 4m^{2}+4m+1 - 4m^{2}-2 = 4m - 1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$4m - 1＞0$，解得$m＞\frac{1}{4}$。
(2) 由
(1)知$m＞\frac{1}{4}$，最小正整数$m=1$。此时方程为$x^{2}-3x+\frac{3}{2}=0$，两根为$\alpha,\beta$。
由韦达定理得$\alpha+\beta=3$。
代数式$\frac{1}{3}\alpha^{3}+\frac{1}{3}\alpha^{2}\beta - 3\alpha = \frac{1}{3}\alpha^{2}(\alpha+\beta)-3\alpha$。
将$\alpha+\beta=3$代入，得$\frac{1}{3}\alpha^{2}×3 - 3\alpha = \alpha^{2}-3\alpha$。
因为$\alpha$是方程的根，所以$\alpha^{2}-3\alpha+\frac{3}{2}=0$，即$\alpha^{2}-3\alpha=-\frac{3}{2}$。
故代数式的值为$-\frac{3}{2}$。
(1)$m＞\frac{1}{4}$；
(2)$-\frac{3}{2}$