《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,直线 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ 与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 $ 交于 $ B $,$ C $ 两点(点 $ B $ 在点 $ C $ 的左侧)。
(1)求 $ B $,$ C $ 两点的坐标；
(2)记抛物线的顶点为 $ A $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： （1）解方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1,\\y=\frac{1}{2}x^2-4x+8.\end{cases}$
得$\frac{1}{2}x+1=\frac{1}{2}x^2-4x+8$，
$x^2-9x+14=0$，
$(x-2)(x-7)=0$，
$x=2$或$x=7$，
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}× 2+1=2$，
当$x=7$时，$y=\frac{1}{2}× 7+1=\frac{9}{2}$，
$\therefore B(2,2),C(7,\frac{9}{2})$。
（2）$\because y=\frac{1}{2}x^2-4x+8=\frac{1}{2}(x-4)^2$，
$\therefore $抛物线的对称轴为直线$x=4$，顶点$A$的坐标为$(4,0)$，
设直线$y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线的对称轴交于点$D$，
当$x=4$时，$y=\frac{1}{2}× 4+1=3$，
$\therefore D(4,3)$，
$\therefore AD=3$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 3× (7-2)=\frac{15}{2}$。

10. 如图,点 $ A(3, 0) $,$ B(1, 0) $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C(-3, 9) $,$ D(2, 4) $ 在抛物线 $ y = x^2 $ 上,向左或向右平移抛物线后,点 $ C $,$ D $ 的对应点分别为点 $ C' $,$ D' $。当四边形 $ ABC'D' $ 的周长最小时,平移后的抛物线的表达式为$ y=(x-\frac{25}{13})^2 $。

答案： $ y=(x-\frac{25}{13})^2 $

11. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = -x^2 + bx - c $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3, 0) $ 和点 $ B(1, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象的对称轴与直线 $ AC: y = x + 3 $ 交于点 $ D $,若点 $ M $ 是直线 $ AC $ 上方抛物线上的一个动点,求 $ \triangle MCD $ 面积的最大值。

答案：
(1) 因为二次函数与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)，设表达式为$y=-(x+3)(x-1)$，展开得$y=-(x^2- x + 3x - 3)=-x^2-2x+3$，故二次函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 由
(1)知抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。直线AC：$y=x+3$，令$x=-1$得$y=2$，则$D(-1,2)$。C为抛物线与y轴交点，令$x=0$得$y=3$，故$C(0,3)$。
设$M(m,-m^2-2m+3)$，$M$在直线AC上方，则$-m^2-2m+3 ＞ m+3$。$\triangle MCD$面积$S=\frac{1}{2}|m - (-m^2-2m+3) + 3|=\frac{1}{2}(-m^2-3m)$，即$S=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m$。对称轴$m=-\frac{3}{2}$，代入得$S_{max}=-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{2}(-\frac{3}{2})=\frac{9}{8}$。
(1)$y=-x^2-2x+3$；
(2)$\frac{9}{8}$