《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列方程是关于$x$的一元二次方程的是(C)
A.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 0$
B.$ax^{2}+bx + c = 0$
C.$(x - 1)(x + 2) = 1$
D.$3x^{2}-2xy - 5y^{2} = 0$

答案： C

2. 已知$(m^{2}+n^{2})^{2}-2(m^{2}+n^{2})-3 = 0$,则$m^{2}+n^{2}$的值为(B)
A.$-1或3$
B.$3$
C.$-1$
D.无法确定

答案： B

3. 如图,一块长$16m$,宽$8m$的矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于种植,且种植面积为$105m^{2}$。设石子路的宽度为$xm$,则下列方程正确的是(B)

A.$(16 - x)(8 - x)+x^{2} = 105$
B.$(16 - x)(8 - x) = 105$
C.$(16 - 2x)(8 - x)+x^{2} = 105$
D.$(16 - 2x)(8 - x) = 105$

答案： B

4. (1)一元二次方程$x^{2}+mx + 3 = 0的一个根为-1$,则另一个根为$-3$；
(2)已知$x = 1是一元二次方程(m + 1)x^{2}+x - m^{2} = 0$的一个根,则$m = $$2$。

答案：
(1) $-3$
(2) $2$

5. (1)若$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程x^{2}-3x + 1 = 0$的两个根,则$x_{1}+x_{2} = $3,$x_{1}x_{2} = $1,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = $7；
(2)已知关于$x的方程x^{2}-mx + 2m - 1 = 0的两个实数根的平方和为7$,那么$m$的值是-1；
(3)若关于$x的一元二次方程mx^{2}-8x + 16 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为$m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$。

答案：
(1) 3, 1, 7
(2) -1
(3) $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$

6. (1)某工厂一月份生产机器$100$台,计划二、三月份共生产机器$250$台,设二、三月份的平均增长率为$x$,则根据题意可列方程为$100(1 + x) + 100(1 + x)^2 = 250$；
(2)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出$20$件,每件盈利$40$元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,每件衬衫每降价$1$元,商场平均每天可多售出$2$件。若商场平均每天盈利$1200$元,则每件衬衫应降价20元。

答案：
(1) $100(1 + x) + 100(1 + x)^2 = 250$
(2) 20

7. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}-2x = 5$；
(2)$x(x - 2)+x - 2 = 0$；
(3)$(x + 4)^{2}= (x + 4)(2x - 5)$。

答案：
(1)解：
原方程为$x^{2} - 2x = 5$。
配方，得$(x - 1)^{2} - 1 = 5$，
即$(x - 1)^{2} = 6$。
开方，得$x - 1 = \pm \sqrt{6}$。
解得$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$，$x_{2} = 1 - \sqrt{6}$。
(2)解：
原方程为$x(x - 2) + x - 2 = 0$。
提取公因式，得$(x - 2)(x + 1) = 0$。
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = -1$。
(3)解：
原方程为$(x + 4)^{2} = (x + 4)(2x - 5)$。
移项，得$(x + 4)^{2} - (x + 4)(2x - 5) = 0$。
提取公因式，得$(x + 4)[(x + 4) - (2x - 5)] = 0$，
即$(x + 4)(-x + 9) = 0$。
解得$x_{1} = -4$，$x_{2} = 9$。