《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 具备下列各组条件的两个三角形中,不一定相似的是(A)
A.有一个角为 $40^{\circ}$ 的两个等腰三角形
B.两个等腰直角三角形
C.有一个角为 $100^{\circ}$ 的两个等腰三角形
D.有一个角为 $40^{\circ}$ 的两个直角三角形

答案： A

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 在 $AB$ 边上,若 $BC = 6$,$BD = 3$,且 $\angle BDC = \angle ACB$,则线段 $AD$ 的长为(B)

A.10
B.9
C.8
D.7

答案： B

3. 如图,点 $M$ 是 $□ ABCD$ 边 $CD$ 上的一点,$BM$ 的延长线交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则图中相似的三角形有(A)

A.3 对
B.2 对
C.1 对
D.0 对

答案： A

4. 如图,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle D = 40^{\circ}$,$\angle E = 70^{\circ}$,当 $\angle C = $40$^{\circ}$ 时,$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$。

答案： 40

5. 如图,已知 $\angle A = \angle BCD = \angle E = 60^{\circ}$,则图中的相似三角形是△ABC∽△ECD。

答案： △ABC∽△ECD

6. 如图,$AD$,$BC$ 相交于点 $O$,且 $\angle A = \angle B$,则 $AO \cdot OD = $BO·CO。

答案： BO·CO

7. (1) 如图,已知点 $D$,$E$ 分别在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$,$AC$ 上,$\angle B + \angle CED = 180^{\circ}$,求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$；

(2) 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $BC$ 上一点,连接 $DE$,过点 $A$ 作 $AF \perp DE$ 于点 $F$,$\triangle DEC$ 与 $\triangle ADF$ 相似吗？请说明理由。

答案：
(1) 证明：
∵ 点E在AC上，
∴∠AED + ∠CED = 180°（平角定义）。
∵∠B + ∠CED = 180°（已知），
∴∠AED = ∠B（同角的补角相等）。
∵∠A = ∠A（公共角），
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) △DEC∽△ADF。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C = 90°，AD//BC。
∵AF⊥DE，
∴∠AFD = 90°，
∴∠AFD = ∠C（等量代换）。
∵AD//BC，
∴∠ADF = ∠DEC（两直线平行，内错角相等）。
∴△DEC∽△ADF（两角分别相等的两个三角形相似）。

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,点 $D$,$E$ 分别在边 $BC$,$AC$ 上,$\angle ADE = 45^{\circ}$。求证：$\triangle ABD \backsim \triangle DCE$。

答案： 证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°。
在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，
∵∠B=45°，
∴∠BAD=180°-45°-∠ADB=135°-∠ADB。
∵D在BC上，
∴∠ADB+∠ADC=180°（邻补角定义），
∴∠ADC=180°-∠ADB。
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠ADE=45°，
∴∠ADC=45°+∠CDE，
∴180°-∠ADB=45°+∠CDE，
∴∠ADB=135°-∠CDE。
∴∠BAD=135°-(135°-∠CDE)=∠CDE。
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）。