《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y = 2(x - 3)^2 + 1$的顶点坐标是(A)
A.$(3,1)$
B.$(3, - 1)$
C.$( - 3,1)$
D.$( - 3, - 1)$

答案： A

2. 将抛物线$y = x^2先向右平移3$个单位,再向上平移$4$个单位,得到的抛物线的表达式是(A)
A.$y = (x - 3)^2 + 4$
B.$y = (x + 3)^2 + 4$
C.$y = (x - 3)^2 - 4$
D.$y = (x + 3)^2 - 4$

答案： A

3. 若$A( - \frac{13}{4},y_1)$,$B( - \frac{5}{4},y_2)$,$C(\frac{1}{4},y_3)为二次函数y = x^2 + 4x - 5$的图象上的三点,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系是(B)
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$

答案： B

4. 已知二次函数$y = x^2 - 2x - 2$,当$x$= 1时,$y$取最小值,是- 3；当$x$＞ 1时,$y随x$的增大而增大；当$x$＜ 1时,$y随x$的增大而减小。

答案： = 1；小；- 3；＞ 1；＜ 1

5. 已知二次函数$y = x^2 + (n - 2)x + 3$,当$x ＞ 1$时,$y随x$的增大而增大,则$n$的取值范围是n≥0。

答案： n的取值范围应满足的条件对应的选项(由于选项未给出，这里填代表意思)：n≥0对应的选项。

6. 已知抛物线$y = - x^2 + bx + 3$经过$(- 4,n)$,$(2,n)$两点,则抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。

答案： $(-1,4)$

7. 用顶点式法求下列函数的最值及其图象的顶点坐标、对称轴。
(1)$y = 3x^2 + 2x$； (2)$y = - 3x^2 + 6x - 2$。

答案：
(1)
首先，将函数$y = 3x^2 + 2x$进行配方，得到：
$y = 3(x^2 + \frac{2}{3}x) = 3(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) = 3(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}$
由此，可以得出以下结论：
函数的最小值为$-\frac{1}{3}$；
顶点坐标为$(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$；
对称轴为直线$x = -\frac{1}{3}$。
(2)
首先，将函数$y = -3x^2 + 6x - 2$进行配方，得到：
$y = -3(x^2 - 2x) - 2 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2 = -3(x - 1)^2 + 1$
由此，可以得出以下结论：
函数的最大值为$1$；
顶点坐标为$(1, 1)$；
对称轴为直线$x = 1$。

8. 已知二次函数$y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{2}x + 6的图象与x轴从左到右的两个交点依次为A$,$B$,与$y轴的交点为C$。
(1)求$A$,$B$,$C$三点的坐标；
(2)求直线$BC$的函数表达式；
(3)如果$P(x,y)是线段BC$上的动点,$O$为坐标原点,试求$\triangle POA的面积S与x$之间的函数关系式,并求出自变量$x$的取值范围。

答案：
(1)令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{2}x + 6 = 0$，两边乘4得$x^2 - 10x + 24 = 0$，因式分解$(x - 4)(x - 6)=0$，解得$x=4$或$x=6$。
∵A，B从左到右，
∴$A(4,0)$，$B(6,0)$。
令$x=0$，得$y=6$，
∴$C(0,6)$。
(2)设直线$BC$表达式为$y=kx + b$，将$B(6,0)$，$C(0,6)$代入：
$\begin{cases}6k + b = 0 \\ b = 6\end{cases}$，解得$k=-1$，$b=6$，
∴$y=-x + 6$。
(3)
∵$P(x,y)$在线段$BC$上，
∴$y=-x + 6$，且$0\leq x\leq6$。
$OA=4$，$\triangle POA$的高为$P$的纵坐标$y$，
∴$S=\frac{1}{2} × OA × y=\frac{1}{2} × 4 × (-x + 6)=-2x + 12$。
自变量$x$的取值范围：$0\leq x\leq6$。
综上：
(1)$A(4,0)$，$B(6,0)$，$C(0,6)$；
(2)$y=-x + 6$；
(3)$S=-2x + 12(0\leq x\leq6)$。

9. 如图,已知抛物线$y = x^2 + bx + c与x轴相交于A( - 1,0)$,$B$两点,与$y轴相交于点C(0, - 3)$。
(1)求$b$,$c$的值；
(2)$P$为第一象限抛物线上一点,$\triangle PBC的面积与\triangle ABC$的面积相等,求直线$AP$的表达式。

答案：
(1)$b=-2$，$c=-3$；
(2)$y=x + 1$。