《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在 $ Rt \triangle ABO $ 中,$ \angle ABO = 90^{\circ} $,其顶点 $ O $ 为坐标原点,点 $ B $ 在第二象限,点 $ A $ 在 $ x $ 轴负半轴上,若 $ BD \perp AO $ 于点 $ D $,$ OD = 1 $,$ \tan \angle BAO = \frac{1}{2} $。求过 $ A $,$ B $,$ O $ 三点的抛物线的函数表达式。

答案： 1. 确定各点坐标：
因O为原点，故O(0,0)。
AO在x轴上，BD⊥AO，D为垂足，OD=1，O(0,0)，则D(-1,0)，B与D横坐标相同，设B(-1,b)(b＞0)。
设A(a,0)(a＜0)，tan∠BAO=BD/AD=1/2，BD=b，AD=(-1)-a，故b/[(-1)-a]=1/2，得a=-1-2b。
2. 利用∠ABO=90°求b：
A(-1-2b,0)，B(-1,b)，O(0,0)。
向量AB=(2b,b)，向量BO=(1,-b)，由AB⊥BO得AB·BO=0：2b·1 + b·(-b)=0，即2b - b²=0。
解得b=2(b＞0)，则B(-1,2)，a=-1-2×2=-5，故A(-5,0)。
3. 求抛物线表达式：
设抛物线为y=px²+qx（过原点，c=0）。
代入A(-5,0)：0=25p -5q ⇒ q=5p。
代入B(-1,2)：2=p - q，将q=5p代入得2=p -5p ⇒ p=-1/2，q=5×(-1/2)=-5/2。
4. 结论：抛物线表达式为y=-1/2x² -5/2x。
y=-1/2x² -5/2x

10. (1) 如图,抛物线 $ y = ax^{2} - 5ax + 4 $ 经过 $ \triangle ABC $ 的三个顶点,已知 $ BC // x $ 轴,点 $ A $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴上,且 $ AC = BC $,则此抛物线的函数表达式为 $ y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x +4 $；

(2) 已知抛物线 $ y = x^{2} + mx + n $ 经过点 $ (2,-1) $,且与 $ x $ 轴交于 $ A(a,0) $,$ B(b,0) $ 两点,若点 $ P $ 为该抛物线的顶点,则使 $ \triangle PAB $ 面积最小时抛物线的表达式为 $ y=x^2 -4x +3 $。

答案：
(1)$ y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x +4 $；
(2)$ y=x^2 -4x +3 $

11. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + \frac{8}{3}x + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $ 和点 $ B(3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,4) $,点 $ P $ 为第一象限内抛物线上的动点,过点 $ P $ 作 $ PE \perp x $ 轴于点 $ E $,交 $ BC $ 于点 $ F $。
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 当 $ \triangle BEF $ 的周长是线段 $ PF $ 长度的 $ 2 $ 倍时,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)$ y = -\frac{4}{3}x^2 + \frac{8}{3}x + 4 $；
(2)$ (\frac{3}{2}, 5) $