《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图 $ 1 $ 是安装在倾斜屋顶上的热水器,它的侧面示意图如图 $ 2 $ 所示。已知屋面 $ AE $ 的倾斜角 $ \angle EAD = 22^{\circ} $,长为 $ 2.1 $ 米的真空管 $ AB $ 与水平线 $ AD $ 的夹角 $ \angle BAD = 40^{\circ} $,倾斜屋顶上的 $ E $ 处到水平线的距离 $ DE $ 为 $ 0.8 $ 米,$ C $,$ D $,$ E $ 在同一直线上,且 $ CD \perp AD $。求安装热水器的铁架水平横管 $ BC $ 的长度。(结果精确到 $ 0.1 $ 米,参考数据：$ \sin40^{\circ} \approx 0.64 $,$ \cos40^{\circ} \approx 0.77 $,$ \tan40^{\circ} \approx 0.84 $,$ \sin22^{\circ} \approx 0.37 $,$ \cos22^{\circ} \approx 0.93 $,$ \tan22^{\circ} \approx 0.40 $)

答案： 在Rt△ADE中，∠EAD=22°，DE=0.8米，tan∠EAD=DE/AD，
∴AD=DE/tan22°≈0.8/0.40=2.0米。
在Rt△ABF中（F为B在AD上的垂足），AB=2.1米，∠BAD=40°，cos∠BAD=AF/AB，
∴AF=AB·cos40°≈2.1×0.77≈1.617米。
∵BC为水平横管，CD⊥AD，
∴BC=AD - AF≈2.0 - 1.617≈0.4米。
答：BC的长度约为0.4米。

10. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用 $ 4 $ 个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就。如图,已知大正方形 $ ABCD $ 的面积是 $ 100 $,小正方形 $ EFGH $ 的面积是 $ 4 $,则 $ \tan\angle ADF = $______$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$

11. 某老年活动中心欲在一房前 $ 3m $ 高的前墙 $ AB $ 上安装一遮阳篷 $ BC $,使正午时刻房前能有 $ 2m $ 宽的阴影处 $ AD $ 以供纳凉。假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为 $ 63.4^{\circ} $,遮阳篷 $ BC $ 与水平面的夹角为 $ 10^{\circ} $,如图为侧面示意图,请你求出此遮阳篷 $ BC $ 的长度。(结果精确到 $ 0.1m $,参考数据：$ \sin10^{\circ} \approx 0.17 $,$ \cos10^{\circ} \approx 0.98 $,$ \tan10^{\circ} \approx 0.18 $,$ \sin63.4^{\circ} \approx 0.89 $,$ \cos63.4^{\circ} \approx 0.45 $,$ \tan63.4^{\circ} \approx 2.00 $)

答案： 过点C作CE⊥地面于E，设BC=x米。
∵BC与水平面夹角为10°，
∴CE=BC·sin10°+AB= x sin10°+3，
水平距离BE=BC·cos10°=x cos10°，
∴DE=BE - AD= x cos10° - 2。
在Rt△CDE中，∠CDE=63.4°，
tan∠CDE=CE/DE，即tan63.4°=(x sin10°+3)/(x cos10° - 2)。
代入数据：2.00=(0.17x + 3)/(0.98x - 2)，
2.00(0.98x - 2)=0.17x + 3，
1.96x - 4=0.17x + 3，
1.79x=7，
x≈3.9。
答：遮阳篷BC的长度约为3.9m。