《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 30^{\circ},\angle B= 45^{\circ},BC= 3\sqrt{2}$。
(1)求$AC$的长；
(2)求$\triangle ABC$的面积。

答案： （1）过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$BC = 3\sqrt{2}$，因为$\sin B=\frac{CD}{BC}$，$\cos B=\frac{BD}{BC}$，所以$CD = BC\sin45^{\circ}=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}= 3$，$BD = BC\cos45^{\circ}=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}= 3$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$CD = 3$，因为$\tan A=\frac{CD}{AD}$，所以$AD=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}$。
则$AC=\frac{CD}{\sin30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$。
（2）由（1）知$AB = AD + BD = 3\sqrt{3}+ 3$，$CD = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}+ 3)×3=\frac{9\sqrt{3}+ 9}{2}$。

10. 如图,等边三角形$ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$BC$边上的点,$AD= BE$,$AE与CD相交于F$,$AG\perp CD$,垂足为$G$,则$\sin \angle AFG= $$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

11. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,数学兴趣小组在尝试计算$\tan 15^{\circ}$时,采用以下方法：
如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C= 90^{\circ},\angle ABC= 30^{\circ}$,延长$CB至点D$,使$BD= AB$,连接$AD$,得$\angle D= 15^{\circ}$,设$AC= 1$,则$AB= 2AC= 2,BC= AB\cos 30^{\circ}=\sqrt{3}$,故$\tan 15^{\circ}=\frac{AC}{CD}= \frac{1}{2+\sqrt{3}}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$。类比这种方法,计算$\tan 22.5^{\circ}$的值。(画出计算所需图形,并用文字、计算说明)

答案： 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB至点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°。
设AC=1，
∵∠ABC=45°，∠C=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，BC=AC=1。
由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(1²+1²)=√2。
∵BD=AB，
∴BD=√2，CD=BC+BD=1+√2。
在Rt△ACD中，∠D=22.5°，tan∠D=AC/CD=1/(1+√2)=√2-1（分母有理化：1/(1+√2)=(√2-1)/[(1+√2)(√2-1)]=(√2-1)/1=√2-1）。
故tan22.5°=√2-1。