《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为$600m^{2}$的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广. 如图所示,茶园一面靠墙,墙长$35m$,另外三面用$69m$长的篱笆围成,其中一边开有一扇$1m$宽的门(不需要篱笆). 求这个茶园的长和宽.

答案： 长$ 30 \, m $，宽$ 20 \, m $。

10. 如图,在平面直角坐标系中,点$B$、点$D分别在x$轴、$y$轴上,正方形$OBCD和正方形OEFG的边长分别为6和4$,连接$BE$,正方形$OEFG绕点O$旋转,当$C$,$G$,$F$三点共线时,$BE$的长为2√7+2√2或2√7-2√2.

答案： 2√7+2√2或2√7-2√2

11. 如图,一次函数$y = kx + b的图象过点A(3,6)$,$B(0,3)$,与$x轴相交于点C$.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求点$O到直线AC$的距离；
(3)若直线$l与直线AC$平行,与$y轴交于点P$,且$\triangle APC的面积等于\triangle AOC$的面积(点$P与点O$不重合),求直线$l$的函数表达式；
(4)在$x轴上取点Q$,使得$\triangle BCQ$为等腰三角形,请求出所有符合条件的点$Q$的坐标.

答案：
(1) 将点$A(3,6)$、$B(0,3)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}b=3\\3k+b=6\end{cases}$，解得$k=1$，$b=3$，表达式为$y=x+3$。
(2) 令$y=0$，则$x+3=0$，$x=-3$，$C(-3,0)$。直线$AC$：$x-y+3=0$，原点$O$到直线距离$d=\frac{|0-0+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(3) 直线$l// AC$，设$l:y=x+m$，$P(0,m)$。$\triangle AOC$面积$S=\frac{1}{2}×3×6=9$。$\triangle APC$面积$=\frac{1}{2}×|AC|×\frac{|m-3|}{\sqrt{2}}=9$，$|AC|=6\sqrt{2}$，解得$|m-3|=3$，$m=6$（$m=0$舍去），表达式为$y=x+6$。
(4) 设$Q(q,0)$，$B(0,3)$，$C(-3,0)$，$BC=3\sqrt{2}$。
$BC=BQ$：$\sqrt{q^2+9}=3\sqrt{2}$，$q=\pm3$（$q=-3$舍去），$Q(3,0)$；
$BC=CQ$：$|q+3|=3\sqrt{2}$，$q=3\sqrt{2}-3$或$q=-3\sqrt{2}-3$；
$BQ=CQ$：$\sqrt{q^2+9}=|q+3|$，$q=0$，$Q(0,0)$。
综上，$Q(3,0)$，$(0,0)$，$(3\sqrt{2}-3,0)$，$(-3\sqrt{2}-3,0)$。
答案
(1) $y=x+3$
(2) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3) $y=x+6$
(4) $(3,0)$，$(0,0)$，$(3\sqrt{2}-3,0)$，$(-3\sqrt{2}-3,0)$