《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,将一张矩形纸片的右侧部分(四边形ABCD)沿线段AB翻折至四边形ABC'D',若∠ABC= 58°,则∠1= (A)

A.64°
B.60°
C.52°
D.42°

答案： A

2. 如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心点O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2,∠A= 120°,则EF的长为(C)

A.2√3
B.2
C.√3
D.4

答案： C

3. 如图,在矩形ABCD中,AD= 2,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE= EF,则四边形ABCE的面积为(C)

A.2√2
B.8√2 - 4
C.4√2 - 2
D.2√2 - 2

答案： C

4. 如图,在菱形纸片ABCD中,E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在点B'处,连接DB'。若∠C= 120°,∠BAE= 50°,则∠AB'D的度数为______80°。

答案： 80°

5. 如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为$(-1,-1)$。

答案： $(-1,-1)$

6. 如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处。若BC= 8,AB= 4,则阴影部分的面积为6。

答案： 6

7. 如图1,菱形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,且DE⊥AB,连接BD。
(1) 求证：△ABD是等边三角形；
(2) 如图2,将图1中的△ADE绕点D逆时针旋转,使得点A和点C重合,得到△CDF,连接BF,求线段BF的长。

答案：
(1) 证明见上；
(2) √7。

8. 如图,已知正方形纸片ABCD,M,N分别是AD,BC的中点,把BC边向上翻折,使点C恰好落在MN上的点P处,BQ为折痕。
(1) 求∠PBQ的度数；
(2) 若AB= 1,求MP的长度。

答案： 1. （1）
解：
因为四边形$ABCD$是正方形，$M$，$N$分别是$AD$，$BC$的中点，所以$MN// AB$，$BN = \frac{1}{2}BC$，$AB = BC$。
由折叠可知$BP = BC$，所以$BP = 2BN$。
在$Rt\triangle BPN$中，$\sin\angle BPN=\frac{BN}{BP}=\frac{1}{2}$，所以$\angle BPN = 30^{\circ}$。
因为$MN// AB$，所以$\angle ABP=\angle BPN = 30^{\circ}$。
又因为$\triangle BPQ\cong\triangle BCQ$（折叠性质），所以$\angle PBQ=\angle QBC$。
而$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle PBQ=\frac{1}{2}(90^{\circ}-\angle ABP)=\frac{1}{2}(90 - 30)^{\circ}=30^{\circ}$。
2. （2）
解：
已知$AB = 1$，则$BP = BC = AB = 1$，$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。
在$Rt\triangle BPN$中，根据勾股定理$PN=\sqrt{BP^{2}-BN^{2}}$。
由$BP = 1$，$BN=\frac{1}{2}$，可得$PN=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1 - \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$MN = AB = 1$，所以$MP=MN - PN=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，（1）$\angle PBQ = 30^{\circ}$；（2）$MP = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。