《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列条件能使$□ ABCD$成为菱形的是(B)
A.$AB = CD$
B.$AB = BC$
C.$\angle BAD = 90^{\circ}$
D.$AC = BD$

答案： B

2. 在四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$互相平分,要使四边形$ABCD$为菱形,可添加的条件是(C)
A.$\angle A = \angle C$
B.$AB \perp BC$
C.$AC \perp BD$
D.$AC = BD$

答案： C

3. 下列说法正确的是(A)

A.四边相等的四边形是菱形
B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是菱形

答案： A

4. 如图,$A$,$B两点的坐标分别为(5,0)$,$(1,3)$,点$C$是平面直角坐标系内一点. 若以$O$,$A$,$B$,$C$为顶点的四边形是菱形,则点$C$的坐标为(-4,3).

答案： (-4,3)

5. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD = BC$,$AC \perp BD于点O$. 请添加一个条件：$AD// BC$（答案不唯一）,使四边形$ABCD$成为菱形.

答案： $AD// BC$（答案不唯一）

6. 如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,点$E$,$F$,$G$,$H分别是OA$,$OB$,$OC$,$OD$的中点,若要使四边形$EFGH$成为菱形,则$□ ABCD$应满足的条件是______.(写出一种即可)
AB=BC

答案： AB=BC（或AC⊥BD等，答案不唯一）

7. 如图,在$□ ABCD$中,$\angle DAB的平分线AE交CD于点E$,过点$E作EF // AD$,交$AB于点F$,求证：四边形$ADEF$是菱形.

答案： 证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB// CD$，即$DE// AF$，
又因为$EF// AD$，
所以四边形$ADEF$是平行四边形，
因为$AE$平分$\angle DAB$，
所以$\angle DAE=\angle FAE$，
因为$DC// AB$，
所以$\angle DEA=\angle EAF$，
所以$\angle DAE=\angle DEA$，
所以$AD=DE$，
所以四边形$ADEF$是菱形。

8. 如图,$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点,$DE = \frac{1}{2}CE$,过点$B作BF // CE$,交$DE的延长线于点F$. 求证：四边形$BCEF$是菱形.

答案： 证明：
∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
∵DE = $\frac{1}{2}CE$（已知），
∴$\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}CE$（等量代换），
∴BC = CE。
∵F在DE的延长线上，DE//BC，
∴EF//BC（延长线平行于原平行线）。
∵BF//CE（已知），
∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵BC = CE，且BC，CE是平行四边形BCEF的邻边，
∴平行四边形BCEF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。