《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 若当二次函数 $ y = -x^{2} + 2mx + 1 $ 取最大值时,$ x = 1 $,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $

答案： B

2. 点$ (2,5) $,$ (4,5) $是抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 上的两个点,则此抛物线的对称轴是(C)
A.直线 $ x = 1 $
B.直线 $ x = 2 $
C.直线 $ x = 3 $
D.直线 $ x = 4 $

答案： C

3. 如果抛物线 $ y = x^{2} - 6x + c - 2 $ 的顶点到 $ x $ 轴的距离是 $ 3 $,那么 $ c $ 的值为(C)
A.$ 8 $
B.$ 14 $
C.$ 8 $ 或 $ 14 $
D.$ -8 $ 或 $ -14 $

答案： C

4. 顶点是$ (3,0) $,且与抛物线 $ y = -5x^{2} $ 的形状、开口方向都相同的抛物线的函数表达式为$ y = -5(x - 3)^2 $。

答案： $ y = -5(x - 3)^2 $

5. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,且 $ OB = OC = 3OA $,则该抛物线的表达式是 $ y = x^2 - 2x - 3 $。

答案： $ y = x^2 - 2x - 3 $

6. 如图,已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (1,-2) $,当 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大时,$ x $ 的取值范围是$x\gt\frac{1}{2}$。

答案： $x\gt\frac{1}{2}$

7. (1) 已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ (-1,0) $ 和点 $ (3,0) $,求此抛物线的函数表达式；
(2) 已知二次函数的图象与 $ x $ 轴的两个交点 $ A $,$ B $ 关于直线 $ x = -1 $ 对称,且 $ AB = 6 $,顶点在函数 $ y = 2x $ 的图象上,求这个二次函数的表达式。

答案：
(1)
由于抛物线$y = x^{2} + bx + c$经过点$(-1,0)$和点$(3,0)$，可以将这两个点的坐标代入方程，得到两个方程：
$\begin{cases}1 - b + c = 0, \\9 + 3b + c = 0.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}b = -2, \\c = -3.\end{cases}$
因此，此抛物线的函数表达式为$y = x^{2} - 2x - 3$。
(2)
由于二次函数的图象与$x$轴的两个交点$A$，$B$关于直线$x = -1$对称，且$AB = 6$，可以得出$A$，$B$两点的坐标分别为$(-4,0)$，$(2,0)$。
因此，可以设二次函数的表达式为$y = a(x + 4)(x - 2)$。
进一步化简，得到$y = ax^{2} + 2ax - 8a$。
由于二次函数的顶点在直线$y = 2x$上，且顶点的$x$坐标为对称轴$x = -1$，可以将$x = -1$代入直线方程$y = 2x$，得到顶点的$y$坐标为$-2$。
因此，顶点的坐标为$(-1,-2)$。
将顶点的坐标代入二次函数的表达式，得到：
$-2 = a(-1 + 4)(-1 - 2)$，
解这个方程，得到$a = \frac{2}{9}$。
因此，这个二次函数的表达式为$y = \frac{2}{9}x^{2} + \frac{4}{9}x - \frac{16}{9}$。

8. 如图,已知抛物线 $ y = x^{2} - mx + n $ 过点 $ A $,$ B(2,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,-2) $,点 $ D $ 在抛物线上,且与点 $ C $ 关于对称轴 $ l $ 对称。
(1) 求该抛物线的函数表达式和对称轴 $ l $；
(2) 求 $ \triangle BCD $ 的面积。

答案：
(1) 因为抛物线$ y = x^2 - mx + n $与$ y $轴交于点$ C(0,-2) $，所以当$ x=0 $时，$ y=n=-2 $，即$ n=-2 $。
又抛物线过点$ B(2,0) $，将$ B(2,0) $，$ n=-2 $代入$ y = x^2 - mx + n $，得$ 0 = 2^2 - 2m - 2 $，即$ 0 = 2 - 2m $，解得$ m=1 $。
故抛物线表达式为$ y = x^2 - x - 2 $。
对称轴$ l $为直线$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2×1} = \frac{1}{2} $。
(2) 点$ C(0,-2) $与点$ D $关于对称轴$ x = \frac{1}{2} $对称，$ C $的横坐标为0，设$ D $的横坐标为$ x $，则$ \frac{0 + x}{2} = \frac{1}{2} $，解得$ x=1 $，故$ D(1,-2) $。
$ C(0,-2) $，$ D(1,-2) $，则$ CD = 1 - 0 = 1 $，且$ CD $所在直线为$ y=-2 $。
点$ B(2,0) $到直线$ CD $（$ y=-2 $）的距离为$ |0 - (-2)| = 2 $。
$\triangle BCD$的面积为$ \frac{1}{2} × CD × 距离 = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $。
(1) 抛物线表达式：$ y = x^2 - x - 2 $，对称轴$ l $：$ x = \frac{1}{2} $；
(2) $\triangle BCD$的面积：1。